最小二乘法的应用
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发布时间：2023-07-09 00:32
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时间：2024-12-14 01:54
即向量到子空间各向量间的距离以垂线为最短。
下面的 表示待求解的问题， 代表求解方法：
令 ，则有 ，即 ，这样 便可转化为最小二乘问题：
这样原问题便简化了。
定义1： 是数域 上的一个线性空间，泛函 ，满足：
其中 中任意的向量， ，则称 为 上的一个双线性函数.
定义2：设 是数域 上 维线性空间 上的一个双线性函数. 是 的一组基，则矩阵
叫做 在 下的度量矩阵。 当 时， 上的函数 称为与 对应的二次齐次函数。
易推知：同一个双线性函数在不同的基下的度量矩阵是合同的。
设 及 是线性空间 的两组基底，且 ，则有
即：
若双线性函数 在 及 下的度量矩阵分别为 . 则有
因此
其中 是用户指定的高斯带宽参数。
子空间 上定义一个映射
则可以定义 的能量函数为
令
则有
故而
令 ，则记
，故而
因而
令 （被称为拉普拉斯矩阵）则有
