说明2的2n次方减1能被3整除

发布网友发布时间：2023-07-10 01:06

共5个回答

热心网友时间：2024-11-24 19:47

2的2n次方减1
=2^(2n)-1
=(2^n)^2-1
=(2^n+1)(2^n-1)
因为2^n不是3的倍数
所以(2^n+1),(2^n-1)中至少有一个是3的倍数
所以2的2n次方减1能被3整除

热心网友时间：2024-11-24 19:48

数学归纳法证明
n=1 2的2n次方减1=4^n-1=3 能被3整除
设n=k时2的2k次方减1 能被3整除
n=k+1时2的2(k+1)次方减1=4*2^2k-1=4*2^2k-4+3=4(2^2k-1)+3
由假设2^2k-1能被3整除,4(2^2k-1)能被3整除 4(2^2k-1)+3能被3整除
结论也成立

热心网友时间：2024-11-24 19:48

2^2n-1=4^n-1=(3+1)^n-1
根据n次多项式展开式={3^n+(Cn,1)3^(n-1)*1^1+...+(Cn,n-1)3^1*1^(n-1)+1}-1={3^n+(Cn,1)3^(n-1)*1^1+...+(Cn,n-1)3^1*1^(n-1)}
每项都有3的倍数，所以原式能被3整除

热心网友时间：2024-11-24 19:49

数学归纳法
n=1时，=0，成立
假设n=k时成立，即2^(2k)-1能够被3整除，
那么当n=k+1时，原式=2^(2K+2）-1=4（2^(2k)-1)+3，能够被3整除
所以结论成立

热心网友时间：2024-11-24 19:50

2^2n-1=4^n-1=(3+1)^n-1
(3+1)^n展开即可知道(3+1)^n-1能被3整除