23bit尾数为什么可以精确到24bit
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发布时间：2023-07-11 15:50
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时间：2023-07-16 18:29
对于float和double具体的存储形式，可以不做太多追究，如果感兴趣的话，可以看最后面一段从网上复制过来的信息
必须知道的关于float和double的
第一，float 和double表示的都是近似数，不是绝对准确的值，所以在运算过程中，会有精度上的丢失。 比如，原始数字为123.123456789， 经过一系列运算，+-*/之后，再逆运算回来，很可能已经不是原来的值了。 更极端的例子是，float a=123.456789111223456 然后打印这个值，不同的编译器可能会给出不同的值(float的实现不同)，但极可能不是原来的值，而是近似值
第二，在操作的时候有一个最常见的陷阱
比如做累加，如果对于整型值
int i;
for(i = 0; i < 1000000; i ++);
经过一段运算后，退出循环 这个是个挺正常的程序， 对吧
可是如果改成
float i;
for (i = 0; i < 1e10; i ++);
理论上来说，也可以退出循环，因为i累加总会有超过*的时候，但实际上却不一定
因为float存的是近似值，所以，当达到一定程度后，i和i+1的近似值会相同。所以，i ++做了等于没做，于是导致死循环
这个是对实型变量操作时一定要注意的一点
接下来是复制的
C/C++中， 浮点数，float以及 double 在内存中是怎样存储的?
假如，我有32-bit
8bit 8bit 8bit 0 0 0 0 0 1 1 1 1
对于整形int，我们可以很快得出，这是 int i = 15的内存形式。
假设，最低位的bit的位权为-1，最高位为30。 那么这个就不再表示数字15了，而是
2^-1+2^0+2^1+2^2 = 7.5 了。
当然，上面只是假设，那么真正的Float 浮点型 在内存中是什么样子的呢?
首先需要知道的是 float 在内存中 占 32-bit double型 占 64-bit。
浮点型 在内存中，有3部分构成。
Sign bit
Exponent (指数)
Mantissa(尾数，有效数字)
sign bit
是指浮点数在内存中的 最高位，0 表示 正数，1 表示负数。Sing bit 在浮点数float，32-bit内存中，占 1-bit 。
Exponent
指数，比如 10^5，2^6，这两个数的 5，6既是exponent。当然，数字在内存中都是以2进制体现的，所以这里的指数，是指以2为底 的指数。比如
0 0 0 0 0 1 1 0
很容易可以知道 Exponent为 6，在表示浮点数的内存中，表示的是 2^6 = 64。
Expoent 在 Float 32-bit的内存中，占8-bit，在这里把此8-bit视为表示unsigned int 的bit pattern。那么可以表示的范围是0~256的整数(指数范围)， 但是指数既可以为正整数，也可以为负整数，这样以来无法表示-1，-2....这样的负整数了，所以 IEEE Standard 754 Floating-Point 对此引入了Bias， 偏移量的概念，对于Float型，此偏移量为127. 也就是说 127 这个数字已经被存储到 Exponent这个部分中了，像之前的那个例子，
0 0 0 0 0 1 1 0
表示的是指数6，但是在float内存结构中，其实表示的是 (6-127)= -121。需要减去已存入的偏移量 127。
假如 2^(1),指数1在float 的内存结构中的 bit pattern是什么样子的?
那会不会就是简单的
0 0 0 0 0 0 0 1
应该是 exponent - 127 = 1;(2^(1)中的指数1是这样得来的)
exponent = 127+1 = 128.(2^(1)中的指数1，在float内存结构中应该是128的bit pattern才对)
1 0 0 0 0 0 0 0
这只是个例子，帮助理解exponent，不会真的问这样的问题。。。。
Double型，需要占用64-bit 内存空间。同样，也是由 Sign bit，Exponent,Mantissa 3部分构成，不过 Exponent部分，在整个64-bit中 要占到 11-bit。此外偏移量 为1023。
Mantissa
Mantissa 尾数部分，在float的32-bit的内存空间中，占到23-bit注意之前说的exponent 指数，最低位是从0开始的，那么Mantissa，尾数的最高位当然是 -1了。
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
那么大家说下，上面的尾数部分在 float 浮点数的内存中，表示多少? 很快可以得到是
2^(-2)+2^(-3) = 0.375。 有错了，应该是1.375。
大家回想下小学学的 科学记数法，5 = 5.0*10^0 , 0.75 = 7.5*10^(-1)。对吧?
在Float的内存表示中，这23-bit的尾数 仅仅表示 科学记数法 中 非零实数小数点后的精度。 换句话说，Mantissa 包括两部分，一个是leading bit(科学记数法的非零实数),另一个是fraction bits(即精度)，此23-bit仅仅表示的是 fraction bits。而在二进制中，非零实数自然是1了，所以leading bit默认是1了。所以上述表格实际上是表示
引用
1 + 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
这也就是为什么，在float的内存中，尾数部分可以用23-bit pattern 来表示出24-bit的不同数字了。
在Double型的 64-bit 内存结构中，尾数部分要占到52-bit。
我们用个表格来表示 在内存中，float是怎样存储的。
+/-Sign Exponent 指数 Fraction bit -> .f
s <---------------- 8 ----------------> <-------------------------------------- 23----------------------------->
Unsigned int 2^(-1)， 2^(-2)， 2^(-3)............
上面这个表格所要 表示的是如下的浮点数
(-1)^s * 1.f * 2^(Exponent-127)
随手写了个32-bit pattern，
0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2^8 2^0 2^-23
假如告诉你，这是一个浮点型的内存结构，那么这个浮点数是多少呢?
这个浮点数可以很快的得到 (-1)^0*1.(2^-2+2^-3)*2^(2^1+2^2+2^4-127)。
