均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程
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发布时间：2022-04-25 12:40
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时间：2024-10-30 01:34
在不同的介质模型中，地震波传播有不同的规律，各种不同的传播规律需用不同的传播方程描述。一般介质模型越复杂，其描述地震波传播的方程就越复杂。通常研究地震波的传播问题是由简单介质模型到复杂介质模型，均匀、各向同性、理想弹性介质是一种最简单的介质模型。
8.2.1 弹性波传播方程
根据固体弹性动力学理论，地震波在均匀、各向同性、理想弹性介质中传播满足以下偏微分方程
勘查技术工程学
该式称为矢量弹性波方程，式中矢量U表示介质质点受外力（F）作用后的位移，称为位移矢量，U=U（u，v，w），u，v，w为x，y，z三个坐标轴的位移分量。矢量F表示对介质作用的外力，称为力矢量，F=F（Fx，Fy，Fz），Fx，Fy，Fz为三个力分量。常量λ、μ是介质的弹性常数，称为拉梅（Lame）常数。常数ρ是介质的密度。标量θ称为体变系数，它与位移满足以下关系
勘查技术工程学
算符▽2 为拉普拉斯（Laplace）算子
勘查技术工程学
（8.2-1）式的分量式为
勘查技术工程学
8.2.2 纵、横波波动方程
在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力（正压力），也包含旋转力（剪切力），位移U也包含体变和形变两部分。若对弹性波方程（8.2-1）式两边取散度或取旋度，就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。
对（8.2-1）式两边取散度（div），可得方程
勘查技术工程学
若令
勘查技术工程学
（8.2-4）式可写成
勘查技术工程学
式中：divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩力的作用时，弹性介质只产生与体变系数θ有关的扰动，称（8.2-6）式为用位移表示的纵波波动方程，式中vP为纵波传播速度。
同样，若对（8.2-1）式两边取旋度（rot），并令ω=rotU，可得方程
勘查技术工程学
令
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（8.2-7）式可写成
勘查技术工程学
式中：rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变ω有关的扰动，称（8.2-9）式为用位移表示的横波波动方程，式中vS为横波传播速度。
为使纵、横波方程简单化，可进一步用位函数表达纵、横波方程。
已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹（Helmholtz）定理：任一矢量函数U，若它的散度和旋度有意义，则该矢量场可分解为一个无旋部分和有旋部分之和，即
勘查技术工程学
并且总可以找到一个标量位φ和矢量位ψ使下式成立
勘查技术工程学
φ代表位移场的标量位，ψ代表位移场的矢量位；Φ代表标量力位，Ψ代表矢量力位。
将（8.2-11）式分别代入（8.2-6）和（8.2-9）式，可得用位函数表示的纵、横波波动方程
勘查技术工程学
若矢量位Ψ=Ψ（ψx，ψy），则（8.2-13）也可写成标量方程
勘查技术工程学
式（8.2-12）、（8.2-14）是标量位函数表示的三分量标量波动方程，（8.2-12）式是纵波标量波动方程，（8.2-14）式是标量横波波动方程。
在以上传播方程中，当速度vP、vS分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。若速度vP=vP（x，y，z）、vS=vS（x，y，z），则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。对各向异性、粘弹性介质以及双相介质模型的波传播方程需要重新建立。
