高考对于“空间向量”这一内容是怎样要求的?
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发布时间：2022-04-25 12:54
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时间：2024-03-02 11:31
2000年理科、文科试卷第18题的(甲)题(本题满分12分)是：如图1，直三棱柱ＡＢＣ-Ａ1Ｂ1Ｃ1，底面△ＡＢＣ中，ＣＡ=ＣＢ=1，∠ＢＣＡ=90°，棱ＡＡ1=2，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、Ａ1Ａ的中点。
（图１）
(1)求Ｎ的长；
(2)求ｃｏｓ〈Ａ1，Ｂ1〉的值；
(3)求证Ａ1Ｂ⊥Ｃ1Ｍ。
解第(1)小题，可如下图2建立空间直角坐标系Ｏ-ｘｙｚ。计算得|Ｎ|=。
(本小题2分)。
（图2）
再解第(2)小题，ｃｏｓ〈ＢＡ1，ＣＢ1〉=11030。
(本小题7分)。
第(3)小题证略。
(本小题3分)。
2001年理科、文科试卷第20题的(甲)题(本题满图3分12分)是：如图3，以正四棱锥Ｖ-ＡＢＣＤ底面中心Ｏ为坐标原点建立空间直角坐标系Ｏ-ｘｙｚ，其中Ｏｘ∥ＢＣ，Ｏｙ∥ＡＢ。Ｅ为ＶＣ中点，正四棱锥底面边长为2ａ，高为ｈ。
（图3）
(1)求ｃｏｓ〈Ｅ，Ｅ〉；
(2)记面ＢＣＶ为α，面ＤＣＶ为β，若ＢＥＤ是二面角α-ＶＣ-β的平面角，求∠ＢＥＤ的值。
解第(1)小题，ｃｏｓ〈Ｅ，Ｅ〉=-6ａ2+ｈ2／10ａ2+ｈ2。
(本小题6分)。
解第(2)小题，∠ＢＥＤ=π-ａｒｃｃｏｓ1／3。
(本小题6分)。
2002年理科试卷第18题(文科试卷第19题)的图4(甲)题(本题满分12分)是：如图4，正三棱柱ＡＢＣ-Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为ａ，侧棱长为ａ。
（图4）
(1)建立适当的坐标系，并写出点Ａ、Ｂ、Ａ1、Ｃ1的坐标；
(2)求ＡＣ1与侧面ＡＢＢ1Ａ1所成的角。
解第(1)小题，可如下图5建立空间直角坐标系图5Ｏ-ｘｙｚ，得
（图5）
Ａ(0，0，0)，Ｂ(0，ａ，0)，
Ａ1(0，0，ａ)，Ｃ1(-／2ａ，12ａ，ａ)(本小题4分)。
解第(2)小题，在图5中，取Ａ1Ｂ1的中点Ｍ，有Ｍ(0，1／2ａ，ａ)。连结ＡＭ、ＭＣ1，可证ＡＣ1与ＡＭ所成的角就是ＡＣ1与侧面ＡＢＢ1Ａ1所成的角。
计算得ｃｏｓ〈Ｃ1，Ｍ〉=／2。(本小题8分)。
由上面三道试题可见，解题的关键都在于建立空间坐标系，从而把立体几何的计算与证明问题代数化。坐标系建立得适当，可以便于计算，从而也使证明简捷，充分体现出向量工具的优越性。三年里这类试题的难度都属于中等，比做同一解答题的(乙)题“优惠”一些。积极支持课程、教材改革的一线教研员、教师都已经对这些特点表示关注，试用“第二册(下Ｂ)”教科书的省、市和学校越来越多。
有鉴于此，在2003年高考新课程卷的理科、文科试题中，为了将空间向量更自然地视为解决立体几何问题的一种有效的工具，不再采用(甲)(乙)两道试题的形式，而是与其他解答题类似，根据一种模型设计出难度不同的两道题目，分别放在理、文两份试卷中。这两道题目既可用传统方法解决，也可用空间向量解决，但使用后者明显有思路清晰易找的优点。请读者查阅2003年新课程卷的数学试题并加以比较。
以上笔者简单地介绍了空间向量在我国高中数学课程发展中的定位及与目前高考(新课程版)的关联。可以看出，只要有条件将这一工具教会学生使用，对他们学习高中数学和参加高考都是有好处的。
不仅如此，学习了平面向量和空间向量的学生，到大学理工科专业学习空间解析几何、线性空间、向量分析、微分几何，以及张量分析等，都会打下一个基础。所以在高中数学课程中安排空间向量内容的前景是十分光明的。
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时间：2024-03-02 11:31
向量的大小叫做向量的长度或模。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。
要求是：
（一），熟练掌握空间向量的有关定理。
1共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
2共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
（二），会用空间向量进行运算。
1，是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行。
2，是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
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时间：2024-03-02 11:31
这一大节不仅要求学生掌握上述关于夹角、距离的概念，以及两平面垂直的判定和性质，还要求能灵活运用勾股定理，正弦、余弦定理以及向量的代数方法进行有关的计算与证明。教科书在处理具体问题时，采取了实事求是的态度：凡是用向量比较容易解决的问题，就以向量为“通法”来解决；而对有些直接使用勾股定理和三角知识比较容易解决的问题，仍用传统方法去对待。
本章的第四大节是“简单多面体与球”，这一大节既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面空间图形基本性质与空间向量等相关知识的综合运用。所以说，学生如果用空间向量知识去处理在第一大节中遇到的问题，也是应该欢迎甚至提倡的。
