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证明:S3为最小的非交换群。 分三步证明:1、素数阶群微循环群 2、4阶群为交换群 3、S3非交换

发布网友 发布时间:2022-04-25 09:57

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热心网友 时间:2023-11-13 07:03

证明过程:

1、设群G为p阶群,p为素数

任意a∈G,<a>为由a生成的群,<a>包含于G。

由lagrange定理可得|<a>| 整除|G|=p为素数。

那么|<a>|=1或p

|<a>|=1表示只有一个元素a=1

|<a>|=p=|G|,那么<a>=G

所以那么G就是循环群,那么G也是交换群。

2、设4阶群G={1,a,b,c}

那么G中元素的借只能为1、2、4

(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3

那么G={1,a,a^2,a^3}=<a>

G为循环群,那么也就是交换群。

(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1

a^-1(a的逆)=a b^-1=b

那么ab∈G,那么也是2阶元。

所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1

ba=a^-1*b^-1=ab

所以G交换。

(3)S3为3阶对称群,有6个元素为

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

而可以发现

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3

所以S3不是交换群。

综上:

1、2阶群显然是交换的。

3、5、7阶群由(1)也知是交换群。

4阶群由(2)秩是交换群。

而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群。

数学里的非阿贝尔群,也称 非交换群,是一种群。非阿贝尔群在数学和物理中广泛存在。最小的非阿贝尔群是4阶二面体群。物理中的常见例子是三维中的旋转群(绕不同的轴的旋转交换顺序会造成不同的结果),这也称作四元群。

在经典力学与几何学里,所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转,组成的群,定义为旋转群。根据定义,环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度,保持空间取向(遵守右手定则或左手定则)的线性变换。

两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转;零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律.由于符合上述四个要求,所有旋转的集合是一个群。更加地,旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构,旋转群的运算是光滑的;所以,它是一个李群。旋转群时常会用SO(3)来表示。

热心网友 时间:2023-11-13 07:04

1、设群G为p阶群,p为素数
任意a∈G,<a>为由a生成的群,<a>包含于G
由lagrange定理可得|<a>| 整除|G|=p为素数
那么|<a>|=1或p
|<a>|=1表示只有一个元素a=1
|<a>|=p=|G|,那么<a>=G
所以那么G就是循环群,那么G也是交换群

2、设4阶群G={1,a,b,c}
那么G中元素的借只能为1、2、4
(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3
那么G={1,a,a^2,a^3}=<a>
G为循环群,那么也就是交换群
(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1
a^-1(a的逆)=a b^-1=b
那么ab∈G,那么也是2阶元
所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1
ba=a^-1*b^-1=ab
所以G交换

(3)S3为3阶对称群,有6个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
而可以发现
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3
所以S3不是交换群

综上:
1、2阶群显然是交换的
3、5、7阶群由(1)也知是交换群
4阶群由(2)秩是交换群
而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群来自:求助得到的回答

热心网友 时间:2023-11-13 07:03

证明过程:

1、设群G为p阶群,p为素数

任意a∈G,<a>为由a生成的群,<a>包含于G。

由lagrange定理可得|<a>| 整除|G|=p为素数。

那么|<a>|=1或p

|<a>|=1表示只有一个元素a=1

|<a>|=p=|G|,那么<a>=G

所以那么G就是循环群,那么G也是交换群。

2、设4阶群G={1,a,b,c}

那么G中元素的借只能为1、2、4

(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3

那么G={1,a,a^2,a^3}=<a>

G为循环群,那么也就是交换群。

(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1

a^-1(a的逆)=a b^-1=b

那么ab∈G,那么也是2阶元。

所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1

ba=a^-1*b^-1=ab

所以G交换。

(3)S3为3阶对称群,有6个元素为

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

而可以发现

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3

所以S3不是交换群。

综上:

1、2阶群显然是交换的。

3、5、7阶群由(1)也知是交换群。

4阶群由(2)秩是交换群。

而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群。

数学里的非阿贝尔群,也称 非交换群,是一种群。非阿贝尔群在数学和物理中广泛存在。最小的非阿贝尔群是4阶二面体群。物理中的常见例子是三维中的旋转群(绕不同的轴的旋转交换顺序会造成不同的结果),这也称作四元群。

在经典力学与几何学里,所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转,组成的群,定义为旋转群。根据定义,环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度,保持空间取向(遵守右手定则或左手定则)的线性变换。

两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转;零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律.由于符合上述四个要求,所有旋转的集合是一个群。更加地,旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构,旋转群的运算是光滑的;所以,它是一个李群。旋转群时常会用SO(3)来表示。

热心网友 时间:2023-11-13 07:04

1、设群G为p阶群,p为素数
任意a∈G,<a>为由a生成的群,<a>包含于G
由lagrange定理可得|<a>| 整除|G|=p为素数
那么|<a>|=1或p
|<a>|=1表示只有一个元素a=1
|<a>|=p=|G|,那么<a>=G
所以那么G就是循环群,那么G也是交换群

2、设4阶群G={1,a,b,c}
那么G中元素的借只能为1、2、4
(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3
那么G={1,a,a^2,a^3}=<a>
G为循环群,那么也就是交换群
(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1
a^-1(a的逆)=a b^-1=b
那么ab∈G,那么也是2阶元
所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1
ba=a^-1*b^-1=ab
所以G交换

(3)S3为3阶对称群,有6个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
而可以发现
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3
所以S3不是交换群

综上:
1、2阶群显然是交换的
3、5、7阶群由(1)也知是交换群
4阶群由(2)秩是交换群
而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群来自:求助得到的回答
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