6阶非Abel群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.
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发布时间：2022-04-25 09:57
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时间：2023-11-13 07:03
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个.
首先，由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零，因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6阶非Abel群，
其中二阶子群为{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三阶子群为{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论。
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足。
我们以三阶子群作为分类。
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的，很明显构造不出来，因为除去单位元1之外，至少还要6个元素，此时阶数为7，不是阶非Abel群。所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类。
最后，证明分类1,3不满足题意。
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群，故出去1之外，其他元素的阶均为2，所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因为元素的阶为2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己。同样的可以讨论其他元素。
为了保证群中乘法的封闭性，我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1，ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c），那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba。对于其他元素我们也可以这样讨论，那么可发现这个群地所有元素可交换，此时该群为Abel群，与题目假设矛盾。
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2，可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此时a,b,c,d的阶为3，e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想，原因写起来太麻烦）。那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的。
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾
若ae=c，因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e，即ea=e，矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群。
综上所述，6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个
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时间：2023-11-13 07:03
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个.
首先，由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零，因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6阶非Abel群，
其中二阶子群为{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三阶子群为{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论。
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足。
我们以三阶子群作为分类。
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的，很明显构造不出来，因为除去单位元1之外，至少还要6个元素，此时阶数为7，不是阶非Abel群。所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类。
最后，证明分类1,3不满足题意。
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群，故出去1之外，其他元素的阶均为2，所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因为元素的阶为2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己。同样的可以讨论其他元素。
为了保证群中乘法的封闭性，我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1，ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c），那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba。对于其他元素我们也可以这样讨论，那么可发现这个群地所有元素可交换，此时该群为Abel群，与题目假设矛盾。
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2，可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此时a,b,c,d的阶为3，e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想，原因写起来太麻烦）。那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的。
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾
若ae=c，因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e，即ea=e，矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群。
综上所述，6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个
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时间：2023-11-13 07:03
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个.
首先，由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零，因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6阶非Abel群，
其中二阶子群为{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三阶子群为{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论。
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足。
我们以三阶子群作为分类。
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的，很明显构造不出来，因为除去单位元1之外，至少还要6个元素，此时阶数为7，不是阶非Abel群。所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类。
最后，证明分类1,3不满足题意。
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群，故出去1之外，其他元素的阶均为2，所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因为元素的阶为2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己。同样的可以讨论其他元素。
为了保证群中乘法的封闭性，我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1，ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c），那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba。对于其他元素我们也可以这样讨论，那么可发现这个群地所有元素可交换，此时该群为Abel群，与题目假设矛盾。
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2，可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此时a,b,c,d的阶为3，e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想，原因写起来太麻烦）。那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的。
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾
若ae=c，因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e，即ea=e，矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群。
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时间：2023-11-13 07:04
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个.
首先，由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零，因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6阶非Abel群，
其中二阶子群为{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三阶子群为{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论。
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足。
我们以三阶子群作为分类。
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的，很明显构造不出来，因为除去单位元1之外，至少还要6个元素，此时阶数为7，不是阶非Abel群。所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类。
最后，证明分类1,3不满足题意。
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群，故出去1之外，其他元素的阶均为2，所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因为元素的阶为2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己。同样的可以讨论其他元素。
为了保证群中乘法的封闭性，我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1，ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c），那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba。对于其他元素我们也可以这样讨论，那么可发现这个群地所有元素可交换，此时该群为Abel群，与题目假设矛盾。
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2，可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此时a,b,c,d的阶为3，e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想，原因写起来太麻烦）。那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的。
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾
若ae=c，因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e，即ea=e，矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群。
综上所述，6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个
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时间：2023-11-13 07:04
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个.
首先，由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零，因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6阶非Abel群，
其中二阶子群为{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三阶子群为{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论。
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足。
我们以三阶子群作为分类。
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的，很明显构造不出来，因为除去单位元1之外，至少还要6个元素，此时阶数为7，不是阶非Abel群。所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类。
最后，证明分类1,3不满足题意。
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群，故出去1之外，其他元素的阶均为2，所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因为元素的阶为2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己。同样的可以讨论其他元素。
为了保证群中乘法的封闭性，我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1，ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c），那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba。对于其他元素我们也可以这样讨论，那么可发现这个群地所有元素可交换，此时该群为Abel群，与题目假设矛盾。
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2，可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此时a,b,c,d的阶为3，e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想，原因写起来太麻烦）。那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的。
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾
若ae=c，因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e，即ea=e，矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群。
综上所述，6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个，3阶子群共有( 1)个，4阶子群共有(0 )个
