求三角形三个角的正弦值和的最大正值?恭请帮忙,谢谢!!!

发布网友 发布时间：2023-07-26 06:49

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热心网友 时间：2023-08-08 00:09

在△ABC中，0°＜A＜90°、0°＜B≦90°、0°＜C≦90°，且A＋B＋C＝180°。
∴－90°≦A－B≦90°，∴－45°≦（A－B）/2≦45°，∴0＜cos［（A－B）/2］≦1。
显然还有：0＜cos（C/2）＜1。
又A＋B＝180°－C，∴（A＋B）/2＝90°－C/2，∴sin［（A＋B）/2］＝cos（C/2），
∴0＜sin［（A＋B）/2］＜1。
∴sinA＋sinB＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］≦2sin［（A＋B）/2］。······①

∵0°＜C≦90°、A＋B＋C＝180，∴60°＜［C＋（A＋B＋C）/2］/2≦105°，
∴0＜sin｛［C＋（A＋B＋C）/3］/2｝≦1。
另外，还有：－60°＜C－（A＋B＋C）/3］/2≦－15°，
∴0＜cos｛［C－（A＋B＋C）/3］/2｝＜1。
∴sinC＋sin［（A＋B＋C）/3］
＝2sin｛［C＋（A＋B＋C）/3］/2｝cos｛［C－（A＋B＋C）/3］/2｝
≦2sin｛［C＋（A＋B＋C）/3］/2｝。······②

由①、②两式相加，得：
sinA＋sinB＋sinC＋sin［（A＋B＋C）/3］
≦2sin［（A＋B）/2］＋2sin｛［C＋（A＋B＋C）/3］/2｝
＝4sin［（A＋B＋C）/3］cos［（A＋B－C）/4－15°］
＝4sin［（A＋B＋C）/3］cos［（180°－2C）/4－15°］
＝4sin［（A＋B＋C）/3］cos（30°－C/2）。

由0°＜C≦90°，得：－45°≦C/2＜0°，∴－15°＜30°－C/2≦30°，
∴0＜cos（30°－C/2）≦1。
∴sinA＋sinB＋sinC＋sin［（A＋B＋C）/3］≦4sin［（A＋B＋C）/3］
∴sinA＋sinB＋sinC≦3sin［（A＋B＋C）/3］＝3sin60°＝3√3/2。

∴三角形的个角的正弦值之和的最大值是3√3/2。

热心网友 时间：2023-08-08 00:10

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]≤2sin[(A+B)/2]
同理：sinA+sinB+sinC+sin[(A+B+C)/3]≤2sin[(A+B)/2]+2sin{[C+(A+B+C)/3]/2}
≤4sin{[(A+B)/2+[C+(A+B+C)/3]/2}/2=4sin[(A+B+C)/3]
sinA+sinB+sinC≤3sin[(A+B+C)/3]=3√3/2。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/312178062.html