设a,b,c是△ABC的三边长，求证：b^2c(b-c)+c^2a(c-a)+a^2b(a-b)>=0
发布网友
发布时间：2023-07-22 12:21
共3个回答
热心网友
时间：2023-10-08 04:45
a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
于是由排序不等式可得
1/c*a(b+c-a)+1/a*b(c+a-b)+1/b*c(a+b-c)≤1/a*a(b+c-a)+1/b*b·(c+a-b)+1/c*c(a+b-c)=a+b+c,
1/c*a（(b-a)+c）+1/a*b（(c-b)+a）+1/b*c((a-c)+b）≤=a+b+c,
即1/c*a(b-a)+1/a*b(c-b)+1/b*c(a-c)≤0 同乘abc
a2b(b-a)+b2c(c-b)+c2a(a-c)≥0,提负号
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,
上式当且仅当1/a=1/b=1/c或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.
热心网友
时间：2023-10-08 04:45
a=x+y
b=y+z
c=z+x
代入不等式展开可以化简为
x^3z+y^3x+z^3y >= xyz(x+y+z)
除以xyz得
x^2/y+y^2/z+z^2/x >= x+y+z
由柯西不等式
(x^2/y+y^2/z+z^2/x)(y+z+x) >= (x+y+z)^2
所以原不等式成立。
热心网友
时间：2023-10-08 04:46
http://zhidao.baidu.com/question/182365908.html
