怎么证明同弧所对的圆周角相等

发布网友发布时间：2023-07-28 23:44

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热心网友时间：2024-10-12 05:33

要想证明同弧或等弧所对的圆周角相等，只要证明明同弧或等弧所对的圆周角都等于它所对弧上的圆心角度数的一半
只已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
利用这个定理，把把相等的圆弧对的圆周角，转化为圆心角，利用三角形全等就可以证明。

热心网友时间：2024-10-12 05:33

证：（一）如果圆周角ABC的边AB经过原点O，此时△AOC中，AO=CO--->角A=角OCA圆心角OBC是△AOC的外角，故角BOC=2角OAC，因此，角OAC=(1/2)角BOC。所以圆周角BAC=圆心角BOC的一半（二）如果圆心O在△ABC的内部，则直径AD“分割”△ABC为△ABD和△ACD。前证，角BAD=(1/2)角BOD，角DAC=(1/2)角DOC 因此，角BAD+角DAC=(1/2)(角BOD+角DOC）所以，角BAC=(1/2)角BOC （三）如果O在△ABC之外，则直径AD“分割”△ABC为△ABD和△ACD，前证，角BAD=(1/2)角BOD，角DAC=(1/2)角DOC）所以，角BAD-角CAD=(1/2)(角BOD-角COD) 故角BAC=(1/2)角BOC。

热心网友时间：2024-10-12 05:33