线性代数:若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A是否一定可相似对角化?
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发布时间：2023-07-31 19:52
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热心网友
时间：2023-12-05 19:39
n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量，而特征值不同特征向量一定不同，由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。
但反之，则不一定成立。A与对角阵相似，特征值可能不同，也有可能出现相同的情况，只要满足A有n个线性无关的特征向量即可，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。
扩展资料
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
热心网友
时间：2023-12-05 19:39
A 有 n 个不同的特征值，则对每个特征值，A 必有且仅有 1 个线性无关的特征向量(且特征向量正交)，满足 A 可相似对角化的条件。追问为什么特征向量正交？
