初等数论,若P为素数且P=1(mod4),则(((p-1)/2)!)^2+1=0(mod p)
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发布时间：2023-07-24 23:06
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热心网友
时间：2023-07-27 20:11
(p-1)!=（-1）^((p-1)/2)*(((p-1)/2)!)^2=(((p-1)/2)!)^2,命题等价于：
（p-1)！=-1（mod p)
令a∈A={2,3,4.....p-2}, (其内每个元素都与p互质)
则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；
事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，
而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,又因为a∈A不等于1，所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a∈A不等于p-1,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,
此与a∈A矛盾，故不成立；
有一二三知γ≠a且a,γ∈A。
a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。
即A中的每一个a均可找到与其配对的y，γ∈A使ay≡1(mod p)，又，a不同时，γ也相异。
因此，A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p)，
∴ 2×3×4....(p-2)≡1(mod p) p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1≡p-1(mod p)
热心网友
时间：2023-07-27 20:11
由p是奇数, 有如下(p-1)/2个同余式:
p-1 ≡ -1 (mod p),
p-2 ≡ -2 (mod p),
...
(p+1)/2 ≡ -(p-1)/2 (mod p).
相乘即得(p-1)!/((p-1)/2)! ≡ (-1)^((p-1)/2)·((p-1)/2)! (mod p).
于是-1 ≡ (p-1)! ≡ (-1)^((p-1)/2)·(((p-1)/2)!)² (mod p).
当p ≡ 1 (mod 4), (p-1)/2为偶数, (-1)^((p-1)/2) = 1.
故(((p-1)/2)!)² ≡ -1 (mod p), 即(((p-1)/2)!)²+1 ≡ 0 (mod p).
