已知一个等腰梯形,上底与两腰相等,下底是上底的2倍,能把它分成形状,大小相同的四个部分吗
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发布时间：2022-04-26 15:35
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时间：2023-11-03 06:05
等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝AD＝CD,BC＝2AD.将梯形ABCD分成全等的四个部分.
［解］
1、作梯形ABCD的中位线MN分别交AB、CD于M、N.
2、在MN上取点E、F,使ME＝EF＝FN.
3、过E作EG∥AB交BC于G、过F作FH∥DC交BC于G.
则：梯形AEGB、梯形AEFD、梯形CHED、梯形GEFH就是全等的四个等腰梯形.
［证明］
利用赋值法,令AB＝AD＝CD＝1、BC＝2.
由梯形中位线定理,有：MN＝（1/2）（AD＋BC）＝（1/2）×（1＋2）＝3/2、MN∥BC.
∵ME＝EF＝FN,∴ME＝EF＝FN＝1/2.
显然有：AM＝BM＝DN＝CN＝1/2.
∵ME∥BG、EG∥MB,∴BGEM是平行四边形,∴BG＝ME＝1/2、EG＝BM＝1/2.
取BC的中点为O.则有：BO＝CO＝1,∴AD＝OC,又AD∥OC,∴ADCO是平行四边形,
∴AO＝CD＝1,而AB＝1,∴AB＝AO.
∵BO＝1、BG＝1/2,∴OG＝1/2,∴BG＝OG,又AB＝AO,∴AG⊥BG.
∵AB＝1、BG=1/2、AG⊥BG,∴∠ABG＝60°,又ME∥BG,∴∠AME＝60°,而AM＝ME,
∴△AME是等边三角形,∴AE＝AM＝1/2.
同理可证出：DF＝EH＝CH＝1/2.
显然有：GH＝BC－BG－CH＝2－1/2－1/2＝1.
∵AE＝EG＝BG＝EF＝DE＝EH＝CH＝1/2、AB＝AD＝CD＝GH＝1,
∴梯形AEGB≌梯形AEFD≌梯形CHED≌梯形GEFH.
