o为三角形ABC的外心，CO的延长线交圆与F，AD垂直BC,BE垂直AC,AD交BE于H,M为BC中点，求证：OM=1/2*AH
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发布时间：2022-04-26 13:25
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热心网友
时间：2023-10-09 17:09
证明：
连接AF、BF
因为CD为直径
所以AF⊥AC，BF⊥BC
因为AD⊥BC，BE⊥AC
所以AF//BE，BF//AD
所以四边形AFBH是平行四边形
所以AH＝BF
因为M是BC的中点
所以OM⊥BC
所以OM//BF
所以OM/BF＝CO/CF＝1/2
所以OM＝1/2*BF
所以OM＝1/2*AH
江苏吴云超祝你学习进步
参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/a3cb3e39fa27cbfbb311c762.html
热心网友
时间：2023-10-09 17:09
证明：∵O是△ABC的外心，∴O是△外接圆的圆心。
连接BO并延长交⊙O于N，连接CN。
∵BO=CO=ON，O是BN的中点，CO=0.5BN，∴△BNC是Rt△，即CN⊥BC。
而M是BC的中点，O是△ABC外心，∴OM⊥BC，即OM‖CN，且OM=0.5CN。
连接CH，并延长交AB于Q，CQ⊥AB，H是△ABC的垂心。连接AN，由于AO=BO=ON，O是△ABC外心，O是BN的中点，AO=0.5BN，∴△BNA是Rt△，即AN⊥AB。
∴AN‖CH，又∵AD⊥BC，CN⊥BC，∴AD(AH)‖CN，也就是说四边形AHCN是平行四边形，即AH=CN，∵OM=0.5CN(已证)，∴OM=0.5AH。
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时间：2023-10-09 17:09
∵CF为圆的直径,∴∠FBC=∠FAC=90°
∵BE⊥AC AD⊥BC ∠AHE=∠BHD ∴DAC=∠EBC(两三角形相似,对应角相等)
∵∠FAH=∠FAC-∠DAC ∠FBH=∠FBC-∠EBC
∴∠FAH=∠FBH
∵∠ACB+∠DHE=∠ACB+∠BFA=180° ∠DHE=∠BHA
∴∠FAH=∠FBHBFA=∠BHA
又∵∠FAH=∠FBH
∴四边形AFBH为平行四边形, ∴AH=BF
又∵OM为△CFB的中位线,∴OM=1/2BF 又 ∵AH=BF ∴OM=1/2AH
热心网友
时间：2023-10-09 17:10
连接AF、BF ，
∵ CD是直径 ，
∴ AF⊥AC，BF⊥BC ，
又∵ AD⊥BC，BE⊥AC ，
∴ AF//BE，BF//AD ,
∴ 四边形AFBH是平行四边形 ,
∴ AH＝FB ；
△CFB中 ，CO=OF ，CM=MB ，
∴ OM＝(1/2)FB ,
∴ OM＝(1/2)AH 。
