什么是数学里面的环

发布网友发布时间：2022-04-26 10:30

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热心网友时间：2022-06-27 09:43

环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
主条目：理想
右理想：令R是环，那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意和有。
左理想：类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意和有。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性质：

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR
(3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA
主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环，则
(2) 如果是有单位元的环，则
(3) 如果是有单位元的交换环，则
真理想：如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
极大理想：一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
(2)极大理想未必是极大左理想。
除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B，可推出或。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。
显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

参考资料：维基百科