用二次积分求面积,急求
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发布时间：2023-12-06 06:31
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时间：2024-12-04 13:04
记曲线
y1=a^2/x,
y2=2a^2/x,
y3=x,
y4=2x.
当a=0时，区域是原点，面积是0。当a<>0时，不妨设a>0。
在第一、三象限分别有一个闭区域，形状相同，以下只求第一象限的那一个。
在以上两个假设下，
Step 1. 确定区域形状：曲线y1在曲线y2下方方，类似地y3在y4下方。所以区域是一个由4条曲线围成的图形，它有4个顶点。
Step 2. 确定这4个顶点的位置：
左端顶点是y1和y4的交点，解之得其横坐标a/sqrt(2)，记为z1;
右端顶点是y2和y3的交点，解之得其横坐标a*sqrt(2)，记为z3;
中间两个顶点分别是“y1和y3的交点”与“y2和y4的交点”，它们具有相同的横坐标a，记为z2.
Step 3. 把面积表示成积分
A = int_{x=z1}^{z2}(y4-y1)dx + int_{x=z2}^{z3}(y2-y3)dx.
代入第2步得到的数据，可算
A = int_{x=a/sqrt(2)}^{a}(2x-a^2/x)dx + int_{x=a}^{a*sqrt(2)}(2a^2/x-x)dx
= (x^2-a^2*ln(x))|_{x=a/sqrt(2)}^{a} + (2a^2*ln(x)-x^2/2)|_{x=a}^{a*sqrt(2)}
= a^2(1-ln(2))/2 + a^2(ln(2)-1/2)
= a^2 * ln(2)/2.
