泛函分析，如何证明完全有界的度量空间是可分的？
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发布时间：2023-11-13 02:33
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时间：2024-11-28 16:36
首先，我们回顾一下完全有界和可分的定义。一个度量空间是完全有界的，当且仅当它的任何有界集都是预紧的。一个度量空间是可分的，当且仅当它存在可数的稠密子集。
现在，假设 $(X,d)$ 是一个完全有界的度量空间。由于完全有界的定义是任何有界集都是预紧的，我们可以利用Arzelà-Ascoli定理得到 $X$ 是一个紧空间。
接下来，我们将证明 $X$ 是可分的。我们可以利用Hahn-Banach定理，它指出：如果 $X$ 是一个赋范空间，$Y$ 是 $X$ 的线性子空间，$f$ 是 $Y$ 上的有界线性泛函，则 $f$ 可以延拓到 $X$ 上的有界线性泛函。
我们考虑 $X$ 的有理线性组合的集合 $A$。即，$A={\sum_{i=1}^n q_ix_i : n\in \mathbb{N}, q_i\in \mathbb{Q}, x_i\in X}$。显然，$A$ 是可数的。我们将证明 $A$ 在 $X$ 中是稠密的。
为此，我们需要证明对于任何 $\epsilon > 0$ 和 $x\in X$，存在 $y\in A$，使得 $d(x,y) < \epsilon$。我们定义线性泛函 $f$ 如下：$f(y)=d(x,y)$。显然，$f$ 在 $A$ 上是有界的，因为$d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$ 对于任意 $y,z\in A$ 成立。因此，由Hahn-Banach定理，$f$ 可以延拓为 $X$ 上的有界线性泛函 $F$。
现在我们考虑 $F$ 的核 $N={y\in X : F(y) = 0}$。由于 $F$ 是有界的，我们可以证明 $N$ 是闭的。因此，我们可以利用定理“完全有界的赋范空间的闭子空间仍然完全有界”得到 $N$ 是完全有界的。
接下来，我们证明如果 $N$ 非空，则 $\operatorname{diam}(X) \leq 2\operatorname{diam}(N)$，其中 $\operatorname{diam}(S)=\sup{d(x,y) : x,y\in S}$。首先，我们可以证明如果 $N$ 非空，则 $\operatorname{diam}(N) \leq 2\operatorname{diam}(A)$。
我们考虑 $X$ 的有理线性组合的集合 $A$。即，$A={\sum_{i=1}^n q_ix_i : n\in \mathbb{N}, q_i\in \mathbb{Q}, x_i\in X}$。显然，$A$ 是可数的。我们将证明 $A$ 在 $X$ 中是稠密的。
为此，我们需要证明对于任何 $\epsilon > 0$ 和 $x\in X$，存在 $y\in A$，使得 $d(x,y) < \epsilon$。我们定义线性泛函 $f$ 如下：$f(y)=d(x,y)$。显然，$f$ 在 $A$ 上是有界的，因为$d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$ 对于任意 $y,z\in A$ 成立。因此，由Hahn-Banach定理，$f$ 可以延拓为 $X$ 上的有界线性泛函 $F$。
现在我们考虑 $F$ 的核 $N={y\in X : F(y) = 0}$。由于 $F$ 是有界的，我们可以证明 $N$ 是闭的。因此，我们可以利用定理“完全有界的赋范空间的闭子空间仍然完全有界”得到 $N$ 是完全有界的。
接下来，我们证明如果 $N$ 非空，则 $\operatorname{diam}(X) \leq 2\operatorname{diam}(N)$，其中 $\operatorname{diam}(S)=\sup{d(x,y) : x,y\in S}$。首先，我们可以证明如果 $N$ 非空，则 $\operatorname{diam}(N) \leq 2\operatorname{diam}(A)$。
对于任意 $y,z\in N$，由于 $F$ 是有界的，我们可以证明 $d(y,z) = |F(y-z)| \leq C \cdot \operatorname{diam}(A)$，其中 $C$ 是 $F$ 的有界常数。因此，$\operatorname{diam}(N) \leq C \cdot \operatorname{diam}(A)$。另一方面，对于任意 $y,z\in A$，我们有 $d(y,z) \leq \operatorname{diam}(A)$。因此，$\operatorname{diam}(A) \geq \frac{1}{2}\operatorname{diam}(N)$。
现在，我们可以得出 $\operatorname{diam}(X) \leq 2\operatorname{diam}(N) \leq 4\operatorname{diam}(A)$。因此，$A$ 在 $X$ 中是稠密的，从而 $X$ 是可分的。
