求助线性回归分析论文
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发布时间：2022-05-01 10:49
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时间：2023-10-09 08:49
由上面的讨论知，对于任何的两个变量x和Y的一组观测数据（ ）（i=1,2,……,n）按公式（10）和（11）都可以确定一个回归方程
然而事前并不知道Y和x之间是否存在线性关系，如果两个变量Y和x之间并不存在显著的线性相关关系，那么这样确定的回归方程显然是毫无实际意义的．因此，我们首先要判断Y和x是否线性相关，也就是要来检验线性假设 是否可信，显然，如果Y和x之间无线性关系，则线性模型的一次项系数 =0；否则 0．所以检验两个变量之间是否存在线性相关关系，归根到底是要检验假设
根据现行假设对数据所提的要求可知，观察值 ， ，…… 之间的差异，是有两个方面的原因引起的：（1）自变量x的值不相同;（2）其它因素的影响，检验 是否成立的问题，也就是检验这两方面的影响哪一个是主要的问题．因此，就必须把他们引起的差异从Y的总的差异中分解出来．也就是说，为了选择适当的检验统计量，先导出离差平方和的分解因式．[6]
一、离差平方和的分解公式
观察值 （i=1,2,……,n），与其平均值 的离差平方和，称为总的离差平方和，记作
因为
=
其中：
=2
=2
=2
=2
所以
=
由于 中的 ， 为（10）和（11）所确定．即它们满足正规方程组（9）的解．因此定义项
=
于是得到了总离差平方和的分解公式：
其中
（19）
是回归直线 上横坐标为 的点的纵坐标，并且 的平均值为 ， 是 这n个数的偏差平方和，它描述了 的离散程度，还说明它是来源于 的分散性，并且是通过x对于Y的线性影响而反映出来的，所以， 称为回归平方和
而 =
它正是前面讨论的 的最小值，在假设（1）式的条件下它是由不可观察的随机变量 引起的，也就是说，它是由其它未控制的因素及试验误差引起的，它的大小反映了其它因素以及试验误差对实验结果得影响．我们称 为剩余平方和或残差平方和．[7]
二、 、 的性质及其分布
由以上分析可知，要解决判断Y和x之间是否存在线性相关关系的问题，需要通过比较回归平方和和剩余平方和来实现．为了更清楚地说明这一点，并寻求出检验统计量，考察估计量 ， 的性质及其分布．
（一） 的分布
由（14）式可知
=
在 相互独立且服从同一分布 的假定下由（2）知 ， ，…… 是P个相互独立的随机变量，且 （i=1,2,……，n）所以他们的平均值 的数学期望为：
因为 是 的线性函数，且有：
这说明 是 的无偏估计量且 的方差为
所以
即:
同样可证，对于任意给定的 其对应的回归值 （它是 的点估计）适合
( ，
（二） 方差 的估计及分布
因为
=
=
=
由 、 及 可得
=
又由于 及E(L)，E(U)得
=E(L)+E(U) =（n-2）
从而,说明了 = = 是 的无偏估计量，由此可见，不论假设 成立与否， 是 的一个无偏估计量，而 仅当假设成立时，才是 的一个无偏估计量，否则它的期望值大于 ．说明比值
（20）
在假设成立时有偏大倾向，也就是说，如果F取得值相当大，则没有理由认为x和Y之间有线性相关关系，也就是下面我们将采用F作为检验统计量的原因．另外，由于 ， 是 的最小二乘估计，由（8）式可知
=0 ， =0
这表明 中的n个变量 ， …… 之间有两个独立的线性约束条件，
参考资料：http://www.chinesejy.com/Article/145/2006/20061221159192.html
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时间：2023-10-09 08:49
