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初一课本第一单元(有理数)能否全部给讲解一下

发布网友 发布时间:2022-05-01 09:28

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3个回答

好二三四 时间:2022-05-24 04:36

hello大家好,今天我们要学习的单词是rational,rational是一个形容词,作为形容词的意思是合理的、理性的,rational这个单词可以划分为几个音节呢?我们一起来看一看,这个单词可以划分为三个音节【ra】【tion】和【al】,第一个音节ra的发音为【r?】,第二个音节tion发音为【?n】,第三个音节al的发音为【?l】,合在一起的话它的发音就是【?r??n?l】,rational的比较级是more rational,复数是rationals,我们再来看一下用法,rational通常翻译为合理的;

例如,There is no rational explanation for his actions ,对他的所作所为无法作出合理的解释,还有下面这句翻译为理性的,The decision was based on emotion rather,than rational thought,这个决定不是基于理性的思考而是基于情感作出的,还能翻译为合理,That would seem such a rational thing to do,that no one would think it at all mysterious,这样做似乎很合理,没有人会觉得它有任何可疑之处,rational还有短语词组,例如,rational design合理的设计,rational choice理性选择,rational analysis示构分析、示性分析,rational这个单词你学会了吗?

热心网友 时间:2022-05-24 01:44

有理数的意义

【教学结构】
1.正数和负数
我们知道,数学中已经认识的数都是从社会实践活动中抽象出来的。在小学阶段学习的正整数,正分数和零都是表示某种量的多少。正数和负数的引入,是因为在实际生活中存在大量具有相反意义的量,它用小学学过的数,不能明确表示其相反的情况。例如某天的某一时刻,在A城是零上10℃,在B城则是零下10℃,仅用度数“10”就不能把两地的温度区别描述出来。又如甲向北走5公里,乙向南走5公里,这个距离“5”也不能把甲、乙两人走的方向描述出来。我们把“零上x度与零下x度”,“向北5公里和向南5公里”等称之为具有相反意义的量。若把其中某个意义的量规定为正量,则与它意义相反的另一个量就规定为负量。如“零上10℃”规定为正10℃,则零下10℃就为负10℃。把正量和负量的单位去掉,就得到正数和负数的概念。像5、1.5、10 、9840等大于0的数叫做正数。在正数前面加上“-”(读作负)号的数,如-5、-1.5、-10 、 -9840等叫做负数。其中,正数前面的“+”号可以忽略不写。
在有关具有相反意义的量的问题中,是否有“既不向上,也不向下”,“既不向北,也不向南”的情况呢?答案是肯定的。“正的量”和“负的量”的分界点,是既不正也不负的,这点应该用小学学过的“零”来表示。所以零既不是正数,也不是负数。而是正数、负数的分界,是唯一的一个真正的中性数。过去,零表示“没有”,在学习了具有相反意义的量以后,我们知道它还有丰富的实践意义。如0℃,不是表示没有温度,而是表示冰点这样一个固定的温度。
虽然生活中存在大量具有相反意义的量,但不是所有的量都能找到具有相反意义的量。如“马路宽2米”就不具有相反意义的量。
要注意小学时“+”、“-”号只是加、减运算符号。有了正、负数后,“+”、“-”号也是数的性质符号。
我们把小学学过的正整数和正分数统称正有理数。在正整数前面放上负号,便得到负整数,在正分数前面加上负号,便得到负分数。负整数和负分数统称负有理数。正有理数、零和负有理数统称为有理数。其中,正数和0也叫做非负数。

正整数(自然数)
正有理数 正分数
有理数 零
负有理数 负整数
负分数
有理数还可以做如下的分类:
正整数(自然数)
整数 零
有理数 负整数
分数 正分数
负分数
即“整数和分数统称有理数”。要注意,有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的分数,这时分数包括整数。本章中的分数是指不包括整数的分数。
还要注意小数和分数的关系:分数都可以化成小数(有限小数或无限循环小数);小数中的有限小数和无限循环小数可以化成分数,都是有理数。无限不循环小数化不成分数,不是有理数,如π等。
2.数轴
在生活中,我们常常遇到标有数码的量器,如刻度尺、温度计、称杆等。把数标在这样的一条直的物品上,会给我们的研究带来很大的方便。
为了在一条直线上标记有理数,先确定正、负数的分界点 零的位置,叫做原点。然后规定出正方向和单位。这样就得到了一条能标记有理数的直线。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如

-2 -1 0 1 2 (A) 1 0 -1 (B)

1
0 (C)
-1

都是数轴。但习惯上,一般画图形(A),画一条水平放置的直线,规定从左到右的方向为正方向。(从原点向右为正方向,从原点向左为负方向)即原点右边的数表示正数,原点左边的数表示负数,原点表示零。一定要记住原点、正方向和单位长度是数轴的三个要素,三者缺一不可。
数轴的引进把数与图形上的点联系起来,所有的有理数都可以用数轴上的点表示,这是数与形的结合,数形结合是学习数学的一个重要方法。
3.相反数
象2和-2在数轴上到原点的距离相等。只有符号不同,我们称作这两个数互为相反数。
只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。
通过对相反数在数轴上的位置的观察,我们发现每一组相反数都分别在原点的两边,到原点的距离相等,只有符号不同。从而得到相反数的几何意义:
在数轴上的原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数叫做互为相反数。0的相反数是零。
一般地,数a的相反数是-a,这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数或0。例如当a=+7时,-a=-7,因为7的相反数是-7。当a=-5时,-a=-(-5)=5,因为-5的相反数是5。当a=0时,-a=-0=0,因为0的相反数是0。
4.绝对值
从数轴上看(即绝对值的几何意义),一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
由上面绝对值的几何意义很容易知道,|2|=2,|-2|=2,|0|=0。用文字语言叙述就是:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
我们把上述关系用式子表示,即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
-a (a<0 ) -a (a<0 ) -a (a≤0 )
从上面不同的三个角度来研究绝对值,我们发现有理数的绝对值不能是负数,只能是正数或0,即绝对值是一个非负数。
5.有理数大小的比较
由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。”
根据这个规定,可以知道:正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
对于两个正数的大小,小学时我们已经知道。关于两个负数的比较大小,我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定,但是我们希望把它们转化为正数来进行比较,这样会使计算简便。如|-3|=3,|-2|=2,因为3>2,所以|-3|>|-2|而由数轴可知-3<-2,即“两个负数,绝对值大的反而小”。

【解题点要】
例(1) 如果水库的水位上升5cm,记作+5cm,那么水位下降3cm,记作什么?上升 -2cm表示什么?
分析:因为水位上升和下降是具有相反意义的量,已知上升5cm记作+5cm,那么水位下降3cm应记作-3cm。上升-2cm表示水位下降2cm。
解:水位下降了3cm记作-3cm。上升-2cm表示水位下降2cm。
例(2) 判断正误(正确的用“√”在括号内表示,不正确的用“×”在括号内表示)
1. 向前走10m与向右走10m是相反意义的量。
2.支出8元与收入100元是相反意义的量。
3.向东走15km与向西走1km是相反意义的量。
4.提高某种物品的售价25元与下降20m是相反意义的量。
分析:第1题中向前走10m与向右走10m虽然是同一种量,但向前与向右不能算是具有相反意义的量。第2、3两题中支出与收入,向东和向西都是具有相反意义的量,并且是同一种量。第4题中提高与下降虽然意义相反,但不是同一种量,它们不能算是具有相反意义的量。
解:1.×; 2.√; 3.√; 4.×
提问:相反意义的量具备什么特征?
相反意义的量必须具备两个特征:①意义相反;②是同一种量
例(3)用正数和负数来表示下面各组具有相反意义的量,并指出它们的分界点。
1.高于海平面400米与低于海平面256米。
2.北纬44度与南纬33度。
分析:一般情况下我们用正数表示高于海平面的高度,用负数表示低于海平面的高度。虽然我们也可以把低于海平面的高度用正数来表示。
解:1.用正数来表示高于海平面的高度,那么高于海平面400米就表示为+400米或400米,而低于海平面256米就表示为-256米。海平面是它们的分界点,用0米表示。
2.用正数表示北纬的度数,那么北纬44度就表示为+44度或44度,南纬33度表示为-33度。赤道是它们的分界点,用0度纬线来表示。
例(4) 把下列各数填到相应的大括号内:+6,0.003,1, ,43,0,(2.3,-2,-5.01,-25, ,-0.21
正整数集合: …
负整数集合: …
正分数集合: …
负分数集合: …
正数集合: …
整数集合: …
分析:0.003和12.3是有限小数,都可以化成分数,应填到正分数集合。-0.21是无限循环小数也可以化成分数,应属于负分数集合。0是整数,因为整数是正整数、0、负整数的统称。在考虑整数集合时,不要忽略掉“0”。另外要明确0既不是正数也不是负数。
解:正整数集合:+6,1,43, …
负整数集合:-2,-25, …
正分数集合:0.003, …
负分数集合:- ,-5.01,-0.21,…
正数集合: +6,0.003,1, ,43,12.3, ,…
整数集合: +6,1,43,0,-2,-25,…
提问:-(-3)是负数吗?为什么?
-(-3)是正数。因为-3表示负数,它的前面再加上一个“-”号,表示与-3意义相反的量,而负数与正数具有相反意义的量,所以-(-3)表示正数3。
例(5) 请你画一条数轴,并用A、B、C、D各点分别表示2、-1、 、-1 各数。
分析:画数轴一定要有原点、正方向和单位长度这三个要素。在数轴上表示的数要用实心点(黑的圆点)标出,然后再注上字母。
解: D B A C

-3 -2 -1 0 1 2 3
提问:任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,数轴上的点表示的都是有理数吗?
不是。因为数轴上的点除了表示有理数的点之外,还有表示无理数的点,这到初中二年级才会学到。
例(6) 选择正确的答案(各题的四个答案中只有一个是正确的)
1.在有理数中,绝对值等于其本身的数有( )
(A)正数 (B)0 (C)非负数 (D)负数
2.-a不是负数,那么a一定是( )
(A)负数 (B)正数或0 (C)正数 (D)负数或0
3.下列各对数中相等的数是( )
(A) -(+7.5)和-(-7.5)
(B)+
(C)-(1.2)和+(+1.2)
(D)-(-100)和-100
4.下列式子中,正确的是( )
(A)-31.123>-31.12
(B) >-0.33
(C)
(D)
分析:1.由于正数和0的绝对值都是它本身,而正数和0统称非负数,所以选(C)。
2.因为-a不是负数,-a≥0,即-a是正数或0,则a是负数或0。
3.因为-(-1.2)=1.2,+(+1.2)=1.2,所以-(-1.2)=+(+1.2)
4.因为- ,|- |=|- |= ,-0.33=- ,
|- |= ,
解:1.C; 2.D; 3.C; 4.B
例(7) 如图所示, b 0 a a和b是两个有理数,求|a+b|+|a|的值。
分析:由图可知,a>0,b<0且|b|>|a|,所以a+b<0,|a+b|=-(a+b)=-a-b,|a|=a,所以|a+b|+|a|=-(a+b)+a=-b
解:|a+b|+|a|=-(a+b)+a=-a-b+a=-b

【课余思考】
1. 0是偶数吗?-12是自然数吗?
2.0是自然数吗?是正数吗?是负数吗?是整数吗?是有理数吗?
3.自然数一定是正数吗?一定是整数吗?
4.整数一定是正数吗?一定是自然数吗?一定是有理数吗?
5.正整数中有没有最小的数?有没有最大的数?
6.数轴上是否有两个不同的点表示同一个有理数?是否有一个点表示两个不同的有理数?
7.数轴上无论怎样靠近的两个有理点之间还存在表示有理数的点吗?
8.π是一个有理数吗?为什么?
9.x的相反数是5,那么x是多少?-8的相反数是y,那么y是多少?相反数是它本身的数有几个,它们是多少?
10.什么数的绝对值和它的相反数相等?
11.什么数的绝对值比它本身大?
12.什么数的绝对值比它本身小?
13.什么数的相反数比它本身大?
14.什么数的相反数比它本身小?
15.什么数的绝对值比它的相反数大?

【同步练习】
1.用正数和负数来表示下面各组中具有相反意义的量。
(1)入库3吨与出库5吨。
(2)盈余50万元与亏损300万元。
(3)向东走10km和向西走1km。
(4)收入1000元与支出1000元。
(5)减产12吨水泥与增产21吨水泥。
2.回答问题
(1)正数中有没有最小的数?有没有最大的数?负数中呢?有理数中呢?
(2)有没有这样的有理数,它既是正数又是负数?
(3)有没有这样的有理数,它既不是正数又不是负数?
(4)水位上升5cm,后又上升-3cm,水位共升高多少cm?
(5)0是最小的有理数吗?
3.判断正误:
(1)分数是有理数。 ( )
(2)大于负数的数是正数。 ( )
(3)有理数中不是正数就是负数。 ( )
(4)既没有最小的整数?也没有最大的整数。 ( )
(5)数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数。( )
4.填空
(1)“足球比赛 12场与负5场”是具有相反意义的最。
(2)如果规定向北走为正,那么+10与-15m的含义是 和 ,一共走了
m。
(3)若一港口在海拔5m,而港口的水域底部是海拔-50m,则它们之间相差 m。
(4)在下面有理数:-21,-3.11, ,+2,-1 ,0,3.3,-0.732,1中
正数有 ;
负数有 ;
整数有 ;
非负整数有 。
(5)在数轴上距离原点6个单位长度的数是 。
(6)用不等号把 连接起来是 。
(7)如果在数轴上表示-2的点是A,那么这数轴上到A的距离是3的点所表示的数是

(8)
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 如图,数轴上A点表示 ;它到原点的距离是 ;数轴上到原点距离与点A到原点距离相同的点是 。
(9)任何一个 的相反数是正数,任何一个 的相反数是负数。
(10)+2的相反数是 ; 的相反数是- ;一个数的相反数的相反数是

(11)任何一个有理数的绝对值都不是 。
(12)一个数的绝对值和相反数是它本身,这个数是 。
(13)绝对值是 的数有 个,是 。
(14)绝对值小于3.2的整数有 。
(15)-2 的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 。
(16)使|x-2|=5成立的x的值是 。
(17)设a、b为有理数,且|a+3|+(b-1)2=0,则a+b= 。
(18)所有绝对值小于5的自然数的积等于 。
(19)比较大小:-|-1.7| -(-1.7); -|-2 | -2.8。
(20)若a、b互为相反数,m、n互为倒数,且a、b不为0,则5(a+b)-

【单元点评】

1.【单元测试题】
(一)填空
1.有理数包括 和 。
2.既不是正数又不是负数的数是 。
3.改写下列各句,使它不含负数:潮水退了-0.3m是 ;汽车向东行驶-20km是 。
4.化简-(-27)= ;-(+ )= 。
5.若甲数减去乙数所得的差是负值,则在数轴上表示甲数的点在表示乙数的点的 边。
6.|-8|是数轴上表示-8的点与 点的距离。
7.两个互为相反数的绝对值 。
8.最小的正整数是 ;最大的负整数是 。
9.请写出所有大于-4的负整数 。
10.若ab=1,则这两个数的关系是 。
11.如果t<0,那么-|t|= 。
12.用“>”、“=”、“<”号填空:-100 0.001;-2 -2。
13.将-6、2、0、-9、-3、- ,从小到大用“<”连接起来

14.计算|+2|+|-98|-|66|= 。
15.若a的倒数为-5,则a的相反数是 。
(二)在所给的数轴上,画出下列各点2、-4-1.5、5 、0。
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
(三)选择题(各题的四个答案中,只有一个是正确的)
1.若m、n互为相反数,且m≠0,那么一定成立的是( )
(A) >0 (B) =1 (C) =-1 (D) =0
2.如果|a|=-a,那么a一定是( )
(A)负数 (B)非正数 (C)正数或负数 (D)任何有理数
(四)比较下列各组数的大小。
1.- 和- 2.-0.65和-
2.点评:
(四)题的第1小题两个负分数比大小,分母不同要先化成同分母,过程如下:
解:∵|- |= = , |- |= =
∴- >- 。
(四)题的第2小题一个负分数和一个负小数,要化成同分母的两个负分数来进行比较。

【答案】
【课余思考】
1.是;不是。
2.不是;不是;不是;是;是。
3.是;是。
4.不一定;不一定;一定。
5.有;没有。
6.没有;没有。
7.存在。
8.不是。π是一个无限不循环小数,化不成分数,而整数和分数统称有理数。
9.x=-5;y=8;有一个,是0。
10.负数和0。
11.负数。 12.没有。 13.负数。 14.正数。 15.正数。

【同步练习】
1.(1)入库3吨记作+3吨,出库50吨记作-50吨。
(2)盈余50万元记作+50万元,亏损300万元记作-300万元。
(3)向东走10km记作+10km,向西走1km记作-1km。
(4)收入1000元记作+1000元,支出1000元记作-1000元。
(5)减产12吨水泥记作-12吨,增产21吨记作+21吨。
2.(1)没有;没有;没有;没有。(2)没有。(3)有。(4)2cm。(5)不是。
3.(1)√; (2)×; (3)×; (4)√; (5)√。
4.(1)胜; (2)向北走10m;向南走15m;25m。 (3)55m。
(4) ,+2,3.3,1;负数有-21,-3.11,-1 ,-0.732;整数有-21,+2,0,1;非负整数有+2,0,1。 (5)6和-6
(6)- <- <- 。 (7)-5和1。 (8)3;3个单位;-3。 (9)负数;正数。 (10)-2; ;它本身。 (11)负数。 (12)0。 (13)两个,± 。 (14)-3、-2、-1、0、1、2、3。 (15)2 ;- ;2 。 (16)7和-3。 (17)-2。 (18)24 (19)<;<。 (20)2。

【单元测试题】
一、1.整数和分数。 2. 0。 3. 潮水涨了0.3m;汽车向西行驶20km。
4. 27;- 。 5.t2。 6.原点。 7.相等。 8.1;-1。
9.-3、-2、-1。 10.互为倒数。 11.t。 12.<;<。
13.-9<-6<-3<0< <2。 14.34; 15. 。
二、
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
三、1.C。2.B。
四、1.- 。 2.-0.65>- 。
回答者:cicadae2 - 见习魔法师 二级 9-3 19:50

有理数
有理数(rational number):能精确地表示为两个整数之比的数.

如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.

整数和通常所说的分数都是有理数.有理数还可以划分为正有理数,0和负有理数.

在数的十进制小数表示系统中,有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数.这一定义在其他进位制下(如二进制)也适用.

全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.

有理数集是实数集的子集.相关的内容见数系的扩张.

有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算(0作除数除外),而且对于这些运算,以下的运算律成立(a,b,c等都表示任意的有理数)



①加法的交换律 a+b=b+a;

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在数0,使 0+a=a+0=a;

④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交换律 ab=ba;

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a1=a;

⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1.

此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.

有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.

值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失

误.有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语

中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同).所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理.

热心网友 时间:2022-05-24 03:02

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