已知a为正的常数,求函数y=e^-x-e^-2x在区间[0,a]上的最大值与最小值

发布网友发布时间：2023-11-18 20:05

共3个回答

热心网友时间：2024-11-01 12:43

y=e^(-x)-e^(-2x)
设t=e^(-x),2，
∵x∈[0,a] ∴t∈[e^(-a),1]
∴y=-t²+t=-(t-1/2)²+1/4

当e^(-a)>1/2, -a>ln(1/2), 0<a<ln2时，
y=-(t-1/2)²+1/4在[e^(-a),1]上递减
∴t=e^(-a)时，ymax=e^(-a)-e^(-2a)
t=1,ymin=0

当e^(-a)≤1/2,即a≥ln2时，
t=1/2时，ymax=1/4
t=1时，ymin=0

热心网友时间：2024-11-01 12:44

令t=e^(-x)
则1/e^a=<t<=1
y=t-t^2=1/4-(t-1/2)^2
若a>ln2,则y的最大值t=1/2时，ymax=1/4; 最小值为t=1时，ymin=0
若0<a<ln2,则在 [1/e^a, 1] 上单调减，t=1/e^a时，ymax=e^(-a)-e^(-2a), 最小值为t=1时，ymin=0

热心网友时间：2024-11-01 12:44

y=e^(-x)-e^(-2x)=-[e^(-x)-1/2]²+1/4=-[1/(e^x)-1/2]²+1/4
当x≥0时, 0<1/(e^x)≤1 -1/2<1/(e^x)-1/2≤1/2
当0<a<ln2时,ymax=y|(x=a)=e^(-a)-e^(-2a) ymin=y|(x=0)=1-1=0
当ln2≤a时,ymax=y|(x=ln2)=1/4 ymin=y|(x=0)=1-1=0