高中椭圆方程问题.

发布网友发布时间：2022-05-01 23:08

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热心网友时间：2022-06-24 19:10

设F₁、F₂分别为椭圆E：x²+y²/b²=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值。
解：椭园参数：a=1，0<b<1，c²=a²-b²=1-b²；
(1).不难求得∣AB∣=4/3(过程免)；
(2)设L的方程为：y=x+c，(k=1)代入椭圆方程得：x²+(x+c)²/b²=1，展开化简得：
(1+b²)x²+2cx+c²-b²=(1+b²)x²+2[√(1-b²)]x+1-2b²=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂，y₂)；则：
x₁+x₂=-2[√(1-b²)]/(1+b²)；x₁x₂=(1-2b²)/(1+b²)
故∣AB∣=[√(1+k²)]√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(√2)√[4(1-b²)/(1+b²)²-4(1-2b²)/(1+b²)]=4/3
化简得4b²/(1+b²)=4/3；12b²=4+4b²；8b²=4；b²=1/2；故b=(√2)/2.

热心网友时间：2022-06-24 19:10

(2)
设左焦点（-c,0),
直线l:y=x+c,
x^2+(x+c)^2/b^2=1,
(b^2+1)x^2+2cx+c^2-b^2=0,
c^2=a^2-b^2=1-b^2,
(b^2+1)x^2+2cx+1-2b^2=0,
根据韦达定理：
x1+x2=-2c/(1+b^2),
x1x2=(1-2b^2)/(1+b^2),
根据弦长公式，
|AB|=√(1+1^2)(x1-x2)^2=√2[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√{2[4c^2-4(1-2b^2)(1+b^2)]/(1+b^2)^2}
=√2[4-4b^2-4+4b^2+8b^4]/(1+b^2)
=4b^2/(1+b^2)
4b^2/(1+b^2)=4/3,
2b^2=1,
∴b=√2/2 负值舍去