数论问题:请例举4,6,8,9,11,13的倍数特征。学霸们,burn it!
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发布时间：2022-04-30 16:29
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时间：2022-06-27 12:24
例如，abc=100a+10b+c
另外，不清楚你学习了哪些知识，因而我不用同余，因此需要大量用到【倍数+倍数=倍数】，这个实际上就是提取公因数了。
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①
判断一个数是否是4的倍数，只需看其末两位是否是4的倍数。
例如，2391749147902836是4的倍数，因为其末两位是36，而36是4的倍数，因而这个数也是。
证明：
设一个多位数为abcd....pqr
于是，
abcd....pqr
=abcd....p00+qr
=abcd....p×100+qr
=abcd....p×4×25+qr
由倍数+倍数=倍数，即可的值末两位qr是否是4的倍数决定了多位数是否是4的倍数。
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②
由上面的例子容易推广：判断一个数是否是8的倍数只需看其末三位。因为1000=8×125
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③
判断一个数是否是9的倍数，只需将其各个数为上数字之和相加，判断这个和是否是9的倍数即可。与3类似。
例如：32173不是9的倍数，因为3+2+1+7+3=16，不是9的倍数。
证明：
设一个多位数为abcd....pqr
于是，
abcd....pqr
=a000...000+b00...000+c0...000+d...000+...+p00+q0+r
=a×1000...000+b×100...000+c×10...000+d×1...000+...+p×100+q×10+r
=a×999...999+b×99...999+c×9...999+...p×99+q×9+【a+b+c+d+....+p+q+r】
注意，【】之前的均为9的倍数，因而【】内的数值决定这个多位数是否被9整除。
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④
先说一下13吧，
判断一个至少四位的数是否是7、11、13的倍数，只需将这个多位数从末尾开始，每3位分开，（1）方法一：用后三位之前的数与后三位数作差，大-小，反复进行，直至低于四位数，再试除；
（2）方法二：每三位分开后，分成若干段，每段标上一、二、三、四、...，将标奇数的段相加，再将标偶数的段相加，将得到的两个和作差，反复进行，直至低于四位数，再试除；
下面只证明方法一，方法二类似：
注意到，1001=7×11×13
于是，
abcd...pqrst
=abcd...pq000+rst
=abcd...pq×1000+rst
=abcd...pq×1001-abcd...pq+rst
=abcd...pq×1001-【abcd...pq-rst】
注意到，【】之前的均为7、11、13的倍数，因而【】内的数值决定这个多位数是否被7、11、13整除。
例如，判断12437,493
12437-493=11,944
944-11=933
933不是7、11、13的倍数，因而多位数12437493不是7、11、13的倍数。
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⑤
在上一段中我们已经说了如何判断11的倍数，但11还有另一个相对简单的方法。
注意到，
一方面，99、9999、999999、均为11的倍数（偶数个9）
另一方面，990+11、99990+11、9999990+11也是11的倍数，这些数是1001、100001、10000001、...（中间偶数个0）
于是，判断一个数是否是11的倍数，可以将多位数每一位均分开，用奇数位数字之和与偶数位数字之和作差，若差是11的倍数，那么这个多位数也是，否则，不是。
证明：（为了打字方便，我用一个7位数证明，其它多位数也是同样的道理）
abcdefg
=a000000+b00000+c0000+d000+e00+f0+g
=a×1000000+b×100000+c×10000+d×1000+e×100+f×10+g
=a×999999+a+b×100001-b+c×9999+c+d×1001-d+e×99+e+f×11-f+g
=a×999999+b×100001+c×9999+d×1001+e×99+f×11+【a-b+c-d+e-f+g】
注意到，【】之前的均为11的倍数，因而【】内的数值决定这个多位数是否被11整除。
例如，
281312465060，奇位数字之和=2+1+1+4+5+6=19，偶位数字之和=8+3+2+6+0+0=19，而19与19的差是0，且0是11的倍数，那么这个多位数就是11的倍数。
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⑥
判断6
注意到，6=2×3，且2与3互质，那么2和3的公倍数一定是6的倍数。
于是，判断一个数是否是6的倍数，只需同时满足2和3的倍数即可。
判断一个数是否是2的倍数，只需看末位（类似4和8，因为10=2×5）
判断一个数是否是3的倍数，将其各个数位数字相加（类似9，因为9的倍数一定也是3的倍数）
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如还有疑问，请追问。
以上。
【经济数学团队为你解答！】
热心网友
时间：2022-06-27 12:25
