什么是点集拓扑,什么是代数拓扑,二者有啥区别与联系?
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发布时间：2022-04-30 13:10
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时间：2022-06-22 12:22
《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑，组合拓扑的奠基人是H.庞加莱，1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间（多面体）的同调群，引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量，单纯同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想，即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形，如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S。庞加莱猜想尚未被证明。推广了的庞加莱猜想，对于n≥5的情形，为S.斯梅尔于1961年证明，对n＝4的情形，为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类，但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形，它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论，得到了霍普夫不变量，证明了莱夫谢茨不动点定理，亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群产生。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来，建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列，在同伦群的计算方面取得不少成就。此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。
什么是点集拓扑,什么是代数拓扑,二者有啥区别与联系?
《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：...
学习拓扑学需要什么基础
代数拓扑则是通过代数工具来研究拓扑空间的性质，它关注的是如何将拓扑空间转化为代数结构，从而进行更深层次的分析。代数拓扑学的学习，能够帮助我们更好地理解空间的不变量，以及如何通过这些不变量来区分不同类型的拓扑空间。微分拓扑则着重于研究光滑流形上的拓扑性质，它与微积分学有着密切的联系。微分...
拓扑学是什么
拓扑主要分为点集拓扑和代数拓扑。当然另外有微分拓扑等等。点集拓扑主要关心“连续”，比如说一个量随着另一个量而变化，这个变化什么时候是连续的（这两个量可以不一定是数，可以是些很一般或者叫很泛泛的东西。如果是数的话，我们仅凭直觉也许也能感受到，但是对于很一般的东西来讲我们可能也说不清...
点集拓扑的相关知识有什么?
点集拓扑是研究拓扑空间及其上数学结构的基本性质，拓扑空间可以理解为定义了开集的空间，从而可以得到一系列类似于在分析课程中学过的欧式拓扑中的概念，例如集合的内部、边界、闭包等。点集拓扑是代数拓扑的一个分支，它主要研究的是点集之间的相互作用和拓扑性质。如果您想了解更多关于点集拓扑的知识，我...
请问学习拓扑学(点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑)要什么基础?
点集拓扑 理论上基本不需要什么前置基础的，但是懂点 数分、实变、高代会很有帮助 代数拓扑 微分拓扑的级别远大于 点集拓扑 代数拓扑的话 前提是要非常熟悉 高等代数和抽象代数 以及点集拓扑，这些可能还不太够，往细了去可能还需要 对 Galois理论和 交换代数、代数几何有一定的基础。本科阶段的抽象...
...代数,拓扑,微分几何,数论,学的顺序怎样,有何区别
拓扑 ： 定义在什么样的物体上可以进行所谓的测量，严格的从数学的公理化出发进行定义。微分几何：即黎曼几何，从某个对象上的光滑可微函数出发，以此为基础研究对象的几何学。够作的物体称为manifold.这种研究方法抛弃了坐标系，同样类似的还有代数几何，以代数中的公理为基础，将对象上的函数看作代数...
学习拓扑学的顺序是怎么样的?比如点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑,拓扑学...
几个例子：代数拓扑，主要研究同调、同伦群（比如前两年刚刚证明的61维球有唯一的微分结构）；高维拓扑，主要指5维及以上（这类好像相对冷门）；低维拓扑（三维和四维，这里面又有很多相关的分支，比如纽结理论、双曲几何、规范场论等等）。而且现代数学也是相互关联、相互交叉的，不说纯属学内部的联系，...
简单的讲讲什么是拓扑学
早期的拓扑学明显地分为两支：一是点集拓扑，以康托的贡献为起点；另一支是组合拓扑，由上世纪末庞加莱所首创。庞加莱平时行支迟缓、笨拙，视力很差，常常给人心不在焉的印象。可是，庞加莱具有超凡的心算和数学思维能力。庞国莱对20世纪数学影响十分浣。1895年，他出版了《analysissitus(位置分析）...
数学中拓扑学,群论,环与域,微积分,抽象代数,数学分析,模等等的...
拓扑学主要有点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑等等。群环域是抽象代数的内容。模是线性空间的推广，一般在研究生代数中学习。如果学过数学分析（或者微积分学的比较严格）就可以学点集拓扑。如果学过高等代数（线性代数）就可以学抽象代数。学了一点点群论和一点点点集拓扑就可以学代数拓扑。微分拓扑的话...
请问学习拓扑学需要什么基础?
当然可以，一般来说，只要学过分析学，如数学分析，泛函分析来说，学习点集拓扑学就没什么问题。如果要学习代数拓扑，还应该具有近似代数的基础。个人建议先从点集拓扑开始看
