高分!求解高数级数和问题。

发布网友 发布时间：2023-11-11 09:25

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热心网友 时间：2024-11-30 13:14

如图所示，主要是要记住ln（1-x）这个级数。

热心网友 时间：2024-11-30 13:15

1/（n^2-1)2^n=〔1/(n+1)(n-1)〕*1/2^n={1/2〔1/(n-1)〕-1/(n+1)〕｝*2^n=〔1/(n-1)-1/(n+1)〕*2^(n+1)=1/(n-1)*2^(n+1)-1/(n+1)*2^(n+1)
令an=1/(n-1)*2^(n+1)求其和Sn
再令bn=1/(n+1)*2^(n+1)求其和Tn
最后Sn-Tn即可

化成这样，你的能力应该能求的了Sn和Tn吧

热心网友 时间：2024-11-30 13:15

1/(n^2-1)=1/[2(n-1)]-1/[2(n+1)]

根据ln函数的泰勒展开公式
-ln(1-x)=n从1到无穷的求和 x^n/n

所以 n从2到无穷的求和 1/[2(n-1)](1/2)^n
=n从1到无穷的求和 1/(n)(1/2)^n /4=-ln(1-1/2) /4
=(ln 2)/4
这里第二步用n-1代替了n。

类似的，n从2到无穷的求和 1/[2(n＋1)](1/2)^n
=[n从1到无穷的求和 1/(n)(1/2)^n]-5/8
=ln 2 - 5/8

相减得到 5/8 - 3/4 *ln 2

热心网友 时间：2024-11-30 13:17

1/(n^2-1)=1/[2(n-1)]-1/[2(n+1)]

根据ln函数的泰勒展开公式
-ln(1-x)=n从1到无穷的求和 x^n/n

所以 n从2到无穷的求和 1/[2(n-1)](1/2)^n
=n从1到无穷的求和 1/(n)(1/2)^n /4=-ln(1-1/2) /4
=(ln 2)/4
这里第二步用n-1代替了n。

类似的，n从2到无穷的求和 1/[2(n＋1)](1/2)^n
=[n从1到无穷的求和 1/(n)(1/2)^n]-5/8
=ln 2 - 5/8

相减得到 5/8 - 3/4 *ln 2

或
1/（n^2-1)2^n=〔1/(n+1)(n-1)〕*1/2^n={1/2〔1/(n-1)〕-1/(n+1)〕｝*2^n=〔1/(n-1)-1/(n+1)〕*2^(n+1)=1/(n-1)*2^(n+1)-1/(n+1)*2^(n+1)
令an=1/(n-1)*2^(n+1)求其和Sn
再令bn=1/(n+1)*2^(n+1)求其和Tn
最后Sn-Tn即可

热心网友 时间：2024-11-30 13:17

解：令an=x^n/(n^2-1)2^n
＝1/2（1/(n-1)－1/(n+1)）（x/2)^n
＝0.5×[1/(n-1)×（x/2)^n－1/(n+1)×（x/2)^n]
＝0.5×x×[1/(n-1)×（x/2)^（n－1）]－0.5/x×[1/(n+1)×（x/2)^（n＋1）]
收敛半径为2.
S（x)'＝Sigma求和[0.5x(x/2)^(n-2)－0.5/x×（x/2)^n]
＝0.5x×1/(1-x/2)－0.5/x×（x^2/4)/(1-x/2)
＝3x/(8-4x)
S（x)-S(0)＝从0到x积分S（x)'
＝从0到x积分 3x/(8-4x)
＝－3/4×（x+2ln|x-2|）|0－>x
＝－3/4×（x+2ln|x-2|）＋1.5ln2
因为S（0）＝0
所以S（x)＝－3/4×（x+2ln|x-2|）＋1.5ln2
令x=1, S（1）＝－3/4＋1.5ln2
即级数和为－3/4＋1.5ln2