求初等矩阵的逆矩阵时可以直接用三个公式得到吗,
发布网友
发布时间：2022-04-30 03:46
共4个回答
好二三四
时间：2022-09-05 10:31
初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
热心网友
时间：2024-03-20 12:45
求初等矩阵的逆矩阵时可以直接用三个公式得到。
利用行初等变换对方阵A求逆，相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵。
这种变换方法，通常利用到了单位矩阵，但其实把原理弄清楚了，是可以活学活用的。
Eij(k)逆=Eij(-k)
意思是单位矩阵的第i行乘以k加到第j行上这样的矩阵,他的逆矩阵就是第i行的-k倍加到第j行.
Eij逆 =Eij
单位矩阵第ij两行互换,它的逆矩阵就是它本身
Ei(k)逆=Ei(1/k)
单位矩阵第i行乘以k,它的逆矩阵就是第i行乘以1/k
扩展资料：
证明
逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。
设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C
假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
（1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O
（2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。
参考资料来源:百度百科-逆矩阵
热心网友
时间：2024-03-20 12:46
就是互换行不变，k倍变为1/k，加k倍变为-k倍
这三个公式只适用单位矩阵吗
答：您说的求逆矩阵方法，是指用行初等变换方法求逆。（与之对称的用列初等变换也行）
利用行初等变换对方阵A求逆，相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵。
这种变换方法，通常利用到了单位矩阵，但其实把原理弄清楚了，是可以活学活用的。
原理是：
增并矩阵(矩阵并列在一起，我也称为并矩阵。多个类同量并在一起，我称为并量。)
A|E ，或写成A,E
进行初等变换后得到E|X
因为做行初等变换，相当于左乘了某个初等变换方阵P
即P*(A,E)=(E,X)
显然有P(A)=E, PE=X
故P=A^(-1), 故PE=X=P，这就是所求的逆矩阵。
实际上，我们进行变换的过程中，处在X位的每一个矩阵，都在不知不觉的记录我们的变换动作。当A变成E时，记下来的动作X,就是逆矩阵，
同时，它也就是累积起来的变换过程，即各个初等矩阵的积。
其实，我们不用单位矩阵E与原矩阵相并列，也是可以的，原理与上面相同；
但是根据以上原理，当我们求逆矩阵时，自然用E与A相并最直接。
要说明的重要一点是，过程中不是用的基本的初等变换也是可以的，只要所用到的变换是可逆变换就行；
最后的结果，得到一个方便计算的对角矩阵就行，也不一定要是E，比如：
下面Λ是对角方阵，即各个主对线元为常数，其它元为0的方阵。
A|E ，或写成A,E
进行可逆变换后得到Λ|X
因为做行可逆变换，相当于左乘了某个可逆方阵P
即P*(A,E)=(Λ,X)
显然有PA=Λ, PE=P=X
故P=Λ*A^(-1), 故A^(-1)=Λ^(-1)*P，即是将P的各个行分别除以Λ的各个对角元即是结果。
其实还可以这样做，
利用原来的行，做任意的非奇异变换（线性无关变换），得到一些行；
在变换得到的行中，挑出三个行，构成的矩阵中，后面的X位矩阵为对角阵，就行了。
那样自在极了，方便极了，过程可以简省书写，思路也开阔多了！
热心网友
时间：2024-03-20 12:46
热心网友
时间：2024-03-20 12:47
求初等矩阵的逆矩阵时可以直接用三个公式得到。
利用行初等变换对方阵A求逆，相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵。
这种变换方法，通常利用到了单位矩阵，但其实把原理弄清楚了，是可以活学活用的。
原理是：
增并矩阵(矩阵并列在一起，我也称为并矩阵。多个类同量并在一起，我称为并量。)
A|E ，或写成A,E
进行初等变换后得到E|X
因为做行初等变换，相当于左乘了某个初等变换方阵P
即P*(A,E)=(E,X)
显然有P(A)=E, PE=X
故P=A^(-1), 故PE=X=P，这就是所求的逆矩阵。
实际上，我们进行变换的过程中，处在X位的每一个矩阵，都在不知不觉的记录我们的变换动作。当A变成E时，记下来的动作X,就是逆矩阵，
同时，它也就是累积起来的变换过程，即各个初等矩阵的积。
其实，我们不用单位矩阵E与原矩阵相并列，也是可以的，原理与上面相同；
但是根据以上原理，当我们求逆矩阵时，自然用E与A相并最直接。
要说明的重要一点是，过程中不是用的基本的初等变换也是可以的，只要所用到的变换是可逆变换就行；
最后的结果，得到一个方便计算的对角矩阵就行，也不一定要是E，比如：
下面Λ是对角方阵，即各个主对线元为常数，其它元为0的方阵。
A|E ，或写成A,E
进行可逆变换后得到Λ|X
因为做行可逆变换，相当于左乘了某个可逆方阵P
即P*(A,E)=(Λ,X)
显然有PA=Λ, PE=P=X
故P=Λ*A^(-1), 故A^(-1)=Λ^(-1)*P，即是将P的各个行分别除以Λ的各个对角元即是结果。
其实还可以这样做，
利用原来的行，做任意的非奇异变换（线性无关变换），得到一些行；
在变换得到的行中，挑出三个行，构成的矩阵中，后面的X位矩阵为对角阵，就行了。
扩展资料
性质定理
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
5.若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
