已知二次型与x的转置乘以x的值,求极大值
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发布时间：2022-04-30 03:33
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时间：2023-10-09 19:43
x3
3
?x)+c，其中c为常数．
因为f（x）的极大值与极小值之和为0，
所以f（-1）+f（1）=0，即c=0，
由f（-2）=2得a=-3，
所以f（x）=3x-x3；（5分）
（2）解：由（1）得f（x）=3x-x3，且f'（x）=-3（x+1）（x-1）
列表：
x
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
y'
-
0
+
0
-
y
↘
极小值-2
↗
极大值2
↘
由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），
又f（-2）=2，故f（2）=-2，所以1＜9-m≤2，且-2≤m-9＜-1，
解得7≤m＜8；（10分）
（3）证明：题设等价与a（3-b2）=b（3-c2）=c（3-a2），且a，b，c＞0，
所以a，b，c均小于
3
．
假设在a，b，c中有两个不等，不妨设a≠b，则a＞b或a＜b．
若a＞b，则由a（3-b2）=b（3-c2）得3-b2＜3-c2即b＞c，
又由b（3-c2）=c（3-a2）得c＞a．
于是a＞b＞c＞a，出现矛盾．
同理，若a＜b，也必出现出矛盾．
故假设不成立，所以a=b=c．（15分）
