若当x→0时,1-cos2x~xln(1+kx),则k等于多少?
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发布时间：2023-11-07 08:11
共2个回答
热心网友
时间：2024-12-02 20:46
首先，根据泰勒展开公式，当x趋近于0时，我们可以将cos(2x)展开为：
cos(2x) ≈ 1 - (2x)^2/2! + (2x)^4/4! - (2x)^6/6! + ...
将其代入1 - cos(2x)的表达式中，得到：
1 - cos(2x) ≈ (2x)^2/2! - (2x)^4/4! + (2x)^6/6! - ...
接下来，我们需要计算xln(1+kx)的泰勒展开式：
xln(1+kx) ≈ x[kx - (kx)^2/2 + (kx)^3/3 - (kx)^4/4 + ...]
将两个泰勒展开式相等的部分进行对应，得到：
(2x)^2/2! - (2x)^4/4! + (2x)^6/6! - ... ≈ x[kx - (kx)^2/2 + (kx)^3/3 - (kx)^4/4 + ...]
我们可以发现，两边的表达式中x的幂次最低为2次。
所以，我们将两边分别展开到x^2项，并保持两边等价：
(2x)^2/2! ≈ (kx)^2/2
化简得：
4x^2/2! ≈ k^2x^2/2
得到k^2 ≈ 4
因此，k≈2 或 k≈-2。
请注意，我们进行了近似计算，所以我们得到的结果只是一个近似解。
热心网友
时间：2024-12-02 20:46
当x->0, 极限[(1-cos2x)/(x ln(1+kx))=1]的话，k=2
当x->0, 极限[(1-cos2x)/(x ln(1+kx))=-1]的话，k=-2
