裂项相消法、错位相减法、倒序相加 /、反序相加法求和是怎样的？
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发布时间：2022-04-30 03:03
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时间：2023-10-09 05:46
Sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+....+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2
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时间：2023-10-09 05:47
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+....+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2
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时间：2023-10-09 05:47
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
等差中项
由三个数a，a，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，a叫做a与b的等差中项
有关系：a＝（a＋b）/2
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=sn-s(n-1)
(n≥2)
an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
sn=a1+a2+a3••••••+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+••••••+[a1+(n-1)d]
①
sn=an+(an-d)+(an-2d)+••••••+[an-(n-1)d]
②
由①+②得2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
s2n-1=(2n-1)an，s2n+1=(2n+1)an+1
sk，s2k-sk，s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…成等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric
sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common
ratio），公比通常用字母q表示。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。
有关系：g^2＝ab；g＝±(ab)^(1/2)
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以g^2=ab是a,g,b三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式
an=a1q^(n-1)
an=sn-s(n-1)
(n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)
(q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
sn=na1
性质
任意两项am，an的关系为an=am•q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq•ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数c为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若
m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am•an=ap•aq；
②在等比数列中，依次每
k项之和仍成等比数列.
“g是a、b的等比中项”“g^2=ab（g≠0）”.
(5)
等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。
等和数列
定义
“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列
性质
必定是循环数列
数列前n项和公式的求法
(一)1.等差数列:
通项公式an=a1+(n-1)d
首项a1,公差d,
an第n项数
ak=ak+(n-k)d
ak为第k项数
若a,a,b构成等差数列
则
a=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列的前n项和为sn
即
sn=a1+a2+...+an;
那么
sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方)
/2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法:
1,不完全归纳法
2
累加法
3
倒序相加法
(二)1.等比数列:
通项公式
an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方)
a1为首项,an为第n项
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,g,b
若构成等比中项,则g^2=ab
(a,b,g不等于0)
(3)若m+n=p+q
则
am×an=ap×aq
2.等比数列前n项和
设
a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和sn=a1+a2+a3...an
sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注:
q不等于1;
sn=na1
注:q=1
求和一般有以下5个方法:
1,完全归纳法（即数学归纳法）
2
累乘法
3
错位相减法
4
倒序求和法
5
裂项相消法
