二元函数条件极值的重要步骤是什么
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发布时间：2022-04-30 02:50
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时间：2023-10-09 00:38
一、条件极值概述
无其他条件求多元函数的极值，有时候称为无条件极值。
但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题，称为条件极值。
例如，求表面积为a^2而体积为最大的长方体的体积问题。设长方体的三棱长分为x、y、z，那么体积V=xyz。又由表面积条件，有2(xy+yz+xz)=a^2。此类条件极值可转化为无条件极值问题。即根据表面积条件将z表示成x、y的函数，即z=(a^2-2xy)/2(x+y)，再把它带入V=xyz可得V的表达式（略），只与xy有关的无条件极值。
但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单。拉格朗日乘数法可直接寻求条件极值，不必先把问题转化到无条件极值的问题。
二、拉格朗日乘数法
要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数
其中λ为参数（称为拉格朗日乘子）。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为0，然后与附加条件联立，得到如下方程组：
由此解出x、y、λ，这样得到的(x,y)就是函数在附加条件下的可能极值点。
此方法还可以推广到多自变量多于两个而条件多于一个的情形，如对于4自变量，2条件的要求，即函数
在附加条件
下的极值，可以先做拉格朗日函数
其中λ、μ均为拉格朗日乘子，求其各一阶偏导数，并使之为0，并将其与附加条件联立方程组，可解得可能极值点。
更一般的表达式详见百度百科等。
三、方法推导
寻求函数在附加条件下去的极值的必要条件。
如果在取得极值，那么首先有。
