高等数学 连续性和可导性如何证明
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发布时间：2022-04-20 15:01
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热心网友
时间：2023-05-18 02:36
（1）函数的连续性定义有三个条件：
f(x)在x=x0点有定义；f(x)在x→x0时极限存在；极限值等于函数值
此外,还有个命题，基本初等函数在其定义域中连续,初等函数在其定义区间中连续.
因此,判断函数的连续性,一般先观察函数是否为初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合而成的函数）,如果是,那么在它的定义区间上的每一点都是连续的!
如果函数是个分段函数,那么先考虑每个分段上的连续性,然后考虑分段点的连续性,采用的方法依据定义来判断!
（2）函数的可导性主要是考虑极限lim Δy/Δx=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的问题.
对于基本初等函数,它们也都是在它的定义域中可导的.如果碰到分段函数,记得分段点的可导性一定要用定义来判断!此外,对于一元函数来讲,可导必连续,反之未必成立!
扩展资料：
连续函数的性质
（1）如果ƒ(x)、g(x)都在x=α处连续，则ƒ(x)±g(x)，ƒ(x)g(x)， （只要g(α)≠0)也在x=α处连续。
（2）如ƒ(x)在x=α处连续，且ƒ(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|<δ）中，ƒ(x)不变号,即ƒ(x)与ƒ(α)同号。
（3）在闭区间上的连续函数,必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。
还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。
设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0,必有δ>0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|<δ，便有｜ƒ(x)-ƒ(x′)|<ε，则称ƒ(x)在I上一致连续。
关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。
参考资料：百度百科——连续函数
热心网友
时间：2023-05-18 02:36
下面说一元函数就是只有一个自变量那种 比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函数 ：常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
A基本初等函数复合而成的复合函数 无论多么复杂 在它定义域上连续并可导！！
证明的时候：
【1】比如要你证明该函数在x=a处连续
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f(x)
2 lim(x趋近于a)=limf(a)(此处暗含函数本身必须在x=a处有定义 否则直接判定他不连续，点都没有还如何连续)
满足上述1 2即可
这很难么？
或者对于一元函数来讲 可导必连续 可以先判定函数本身可导 那么他一定连续
牢记：对于初等函数与初等函数的复合函数而言 在定义域上 既可导又连续
【2】比如你要证明y=f(x)在x=a处可导
你先假设可导 那么有一个导函数y'=f'(x)
判定导函数导函数y'=f'(x)是否可导可按上述方法 一样的
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f'(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f'(x)
满足上述1 即可 此处注意不需要导函数在x=a处有定义 可以说比连续的判断还要简单。
B 如果函数本身不是基本初等函数或其复合而成 那么就需要根据定义来 同样简单。
