如何用微积分证明圆锥体积是圆柱体积的三分之一,最好有图解

发布网友发布时间：2022-05-01 02:15

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热心网友时间：2022-06-22 09:01

（注明：虽然不用定积分，但是还是要涉及到一个
n趋于无穷大的问题，就是切得越多，每一份越薄，就越接近于圆柱，当无限薄时，就可视为圆柱来处理）
把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,
（切片，切成一片一片的圆柱）
　　第
n份半径：n*r/k
　　第
n份底面积：π*n²*r²/k²
　　第
n份体积：π*h*n²*r²/k³
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:π*h*(1²+2²+3²+4²+...+k²)*r²/k³
　　因为
　　1²+2²+3²+4²+...+k²=k*(k+1)*(2k+1)/6
（平方数列求和公式）
　　所以
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:π*h*(1²+2²+3²+4²+...+k²)*r²/k³
　　=π*h*r²*
k*(k+1)*(2k+1)/6k³
　　=π*h*r²*(1+1/k)*(2+1/k)/6
　　因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
　　所以π*h*r²*(1+1/k)*(2+1/k)/6=π*h*r²/3
（小欢注：1/k无限接近于0，作为0计算）
　　因为v圆柱=π*h*r²　　所以
　　v圆锥是与它等底等高的圆柱体积的1/3

热心网友时间：2022-06-22 09:02

初中的话可以用类似于微积分的方法证明。
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k,
半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。

热心网友时间：2022-06-22 09:02

dv=s*dh=S*(H-h)^2*dh
其中S是底面积,s是"微饼"的面积,h表示距底高度,H表示总高度.
两边在(0,H)上积分得,V=SH/3