什么才算能级简并度?
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发布时间：2023-11-15 18:24
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时间：2024-10-03 18:29
例如对一维宽度为a的无限深方势阱，其能量表达式为
En=(n²π²h²)/(2ma²)..(1)(其中h应该带靶，表示h/2π）
相应的波函数是
Ψn(x)=Asin(nπx/a).......(2)
其中A是归一化常数。
表面上看，对于一个确定的能级En（与n²有关），可以有±n两个值，但是，当你把±n代入（2）后发现，两个波函数是线性相关的，不满足互相独立的要求，因此没有简并。（或者称为简并度为1）
另一个类似的例子是平面转子，能级为
En=(m²h²)/(2I)..(1)(其中h应该带靶，表示h/2π，I是转动惯量）
对应的波函数是Asinmx及Bcosmx
当m≠0时，一个能级与两个状态对应。故是2度简并。
本楼与楼上的区别在于楼上的两个波函数是线性相关，本楼是线性无关。在计算简并度时，只有线性无关的才算数，线性相关的不能算数。
例如空间转子，系统的哈密吨量是
H=L²/2I....(1)，（I是转动惯量）
解S。方程后得到系统的能量
El=l(l+1)h²,...(l=0,1,2,3,...)...(2)
相应的波函数是
Ψ(θ,φ)=Ylm(θ,φ)..........(3)
m=0,±1±2，...,±l......(4)（注意l是L的小写）l及m都应该是下标。
当l=0（基态）波函数只能取Yoo没有简并；
当l=1，m可以取-1，0，1三个值，此时对应的三个波函数
Y1-1,Y10,Y11线性无关，因此，l=1这个能级有三度简并；
当l=2时m可取-1,-1,0,1,25个数值，且对应的波函数线性无关，故l=2这个能级有5度简并。
