求三角函数的平均值 方法不限 可以是数学方法，也可以是物理方法

发布网友 发布时间：2022-04-30 21:17

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热心网友 时间：2023-10-13 14:31

1. 用数学方法的话，求一个函数在某个区间的平均值的方法是：
先求该函数在该区间上的定积分, 而后再除以区间长度
于是
a=(1/(π/2))∫(0,π/2)cosxdx=(2/π)sinx|(0,π/2)=(2/π)(sin(π/2)-sin0)
=2/π

2. 如果用物理方法，请注意交变电流的有效值是从能量角度定义的
也就是说，在交流电变化的一个周期内，交流电流在电阻R上产生的热量相当于多大数值的直流电流在该电阻上所产生的热量，此直流电流的数值就是该交流电流的有效值。在计算中是对(sinx)^2或（cosx)^2积分，结果是(√2/2)Im

而本题要求的是cosx的平均值，相对应的物理概念是交变电流的平均值
它的定义是：交流电在半周期内，通过电路中导体横截面的电量Q和其一直流电在同样时间内通过该电路中导体横截面的电量相等时，这个直流电的数值就称为该交流电在半周期内的平均值。

值得注意的是，平均值大小与所取时间间隔有关。比如说对正弦交流电来说在上半周期内，一定量的电量以某一方向流经导体的横截面，在下半周期内，同样的电量却以相反的方向流经导体的横截面。因而在一个周期内，流经导体横截面的总电量等于零，所以在一个周期内正弦交流电的电流平均值等于零。

在半周期内正弦交流电的平均值等于峰值的0.637倍，即区间为[0,π]。但它对本题来说是没什么意义的。因为考察区间不同。

所以用物理方法考虑交流电流的平均值的计算方法其实又回到了前面的数学方法，即交流电流图象中波形对横轴(t轴)所围“面积”对时间的比值。
a=(1/(π/2))∫(0,π/2)cosxdx=(2/π)sinx|(0,π/2)=(2/π)(sin(π/2)-sin0)
=2/π

热心网友 时间：2023-10-13 14:31

用定积分计算，如图

热心网友 时间：2023-10-13 14:32

a=二分之根号二
物理方法：
交变电流的有效值是最大值的二分之根号二，函数在区间[0，派/2]上的平均值a应该与函数在区间[0，2派]上的平均值相等（全按绝对值算），所以答案如上。

热心网友 时间：2023-10-13 14:32

用积分算
平均值A=[积分（0到π/2）cosx dx]/（π/2）=[sin（π/2）-sin0]/(π/2)=2/π
cosx dx=dsinx

热心网友 时间：2023-10-13 14:33

交变电流的知识:
I = Acos( x+φ）
A为交流电的幅值， φ为相位差
一个周期内（2π）的平均电流为 ： √2￣/2*A 就是A的根号2除以2倍
这里y=cos x A= 1 ,φ=0,区间在0到π/2
所以平均值a= √2￣/2 *（（π/2）/2π）= √2￣/8