如何用Python进行线性回归以及误差分析
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发布时间：2022-05-01 06:23
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时间：2022-04-12 02:05
数据挖掘中的预测问题通常分为2类：回归与分类。
简单的说回归就是预测数值，而分类是给数据打上标签归类。
本文讲述如何用Python进行基本的数据拟合，以及如何对拟合结果的误差进行分析。
本例中使用一个2次函数加上随机的扰动来生成500个点，然后尝试用1、2、100次方的多项式对该数据进行拟合。
拟合的目的是使得根据训练数据能够拟合出一个多项式函数，这个函数能够很好的拟合现有数据，并且能对未知的数据进行预测。
代码如下：
importmatplotlib.pyplot as plt
importnumpy as np
importscipy as sp
fromscipy.stats importnorm
fromsklearn.pipeline importPipeline
fromsklearn.linear_model importLinearRegression
fromsklearn.preprocessing importPolynomialFeatures
fromsklearn importlinear_model
''''' 数据生成 '''
x = np.arange(0, 1, 0.002)
y = norm.rvs(0, size=500, scale=0.1)
y = y + x**2
''''' 均方误差根 '''
defrmse(y_test, y):
returnsp.sqrt(sp.mean((y_test - y) ** 2))
''''' 与均值相比的优秀程度，介于[0~1]。0表示不如均值。1表示完美预测.这个版本的实现是参考scikit-learn官网文档 '''
defR2(y_test, y_true):
return1- ((y_test - y_true)**2).sum() / ((y_true - y_true.mean())**2).sum()
''''' 这是Conway&White《机器学习使用案例解析》里的版本 '''
defR22(y_test, y_true):
y_mean = np.array(y_true)
y_mean[:] = y_mean.mean()
return1- rmse(y_test, y_true) / rmse(y_mean, y_true)
plt.scatter(x, y, s=5)
degree = [1,2,100]
y_test = []
y_test = np.array(y_test)
ford indegree:
clf = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=d)),
('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))])
clf.fit(x[:, np.newaxis], y)
y_test = clf.predict(x[:, np.newaxis])
print(clf.named_steps['linear'].coef_)
print('rmse=%.2f, R2=%.2f, R22=%.2f, clf.score=%.2f'%
(rmse(y_test, y),
R2(y_test, y),
R22(y_test, y),
clf.score(x[:, np.newaxis], y)))
plt.plot(x, y_test, linewidth=2)
plt.grid()
plt.legend(['1','2','100'], loc='upper left')
plt.show()
该程序运行的显示结果如下：
[-0.16140183 0.99268453]
rmse=0.13, R2=0.82, R22=0.58, clf.score=0.82
[ 0.00934527 -0.03591245 1.03065829]
rmse=0.11, R2=0.88, R22=0.66, clf.score=0.88
[ 6.07130354e-02 -1.02247150e+00 6.66972089e+01 -1.85696012e+04
......
-9.43408707e+12 -9.78954604e+12 -9.99872105e+12 -1.00742526e+13
-1.00303296e+13 -9.88198843e+12 -9.64452002e+12 -9.33298267e+12
-1.00580760e+12]
rmse=0.10, R2=0.89, R22=0.67, clf.score=0.89
显示出的coef_就是多项式参数。如1次拟合的结果为
y = 0.99268453x -0.16140183
这里我们要注意这几点：
1、误差分析。
做回归分析，常用的误差主要有均方误差根（RMSE）和R-平方（R2）。
RMSE是预测值与真实值的误差平方根的均值。这种度量方法很流行（Netflix机器学习比赛的评价方法），是一种定量的权衡方法。
R2方法是将预测值跟只使用均值的情况下相比，看能好多少。其区间通常在（0,1）之间。0表示还不如什么都不预测，直接取均值的情况，而1表示所有预测跟真实结果完美匹配的情况。
R2的计算方法，不同的文献稍微有不同。如本文中函数R2是依据scikit-learn官网文档实现的，跟clf.score函数结果一致。
而R22函数的实现来自Conway的著作《机器学习使用案例解析》，不同在于他用的是2个RMSE的比值来计算R2。
我们看到多项式次数为1的时候，虽然拟合的不太好，R2也能达到0.82。2次多项式提高到了0.88。而次数提高到100次，R2也只提高到了0.89。
2、过拟合。
使用100次方多项式做拟合，效果确实是高了一些，然而该模型的据测能力却极其差劲。
而且注意看多项式系数，出现了大量的大数值，甚至达到10的12次方。
这里我们修改代码，将500个样本中的最后2个从训练集中移除。然而在测试中却仍然测试所有500个样本。
clf.fit(x[:498, np.newaxis], y[:498])
这样修改后的多项式拟合结果如下：
[-0.17933531 1.0052037 ]
rmse=0.12, R2=0.85, R22=0.61, clf.score=0.85
[-0.01631935 0.01922011 0.99193521]
rmse=0.10, R2=0.90, R22=0.69, clf.score=0.90
...
rmse=0.21, R2=0.57, R22=0.34, clf.score=0.57
仅仅只是缺少了最后2个训练样本，红线（100次方多项式拟合结果）的预测发生了剧烈的偏差，R2也急剧下降到0.57。
而反观1，2次多项式的拟合结果，R2反而略微上升了。
这说明高次多项式过度拟合了训练数据，包括其中大量的噪音，导致其完全丧失了对数据趋势的预测能力。前面也看到，100次多项式拟合出的系数数值无比巨大。人们自然想到通过在拟合过程中*这些系数数值的大小来避免生成这种畸形的拟合函数。
其基本原理是将拟合多项式的所有系数绝对值之和（L1正则化）或者平方和（L2正则化）加入到惩罚模型中，并指定一个惩罚力度因子w，来避免产生这种畸形系数。
这样的思想应用在了岭（Ridge）回归（使用L2正则化）、Lasso法（使用L1正则化）、弹性网（Elastic net，使用L1+L2正则化）等方法中，都能有效避免过拟合。
下面以岭回归为例看看100次多项式的拟合是否有效。将代码修改如下:
clf = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=d)),
('linear', linear_model.Ridge())])
clf.fit(x[:400, np.newaxis], y[:400])
结果如下：
[ 0. 0.75873781]
rmse=0.15, R2=0.78, R22=0.53, clf.score=0.78
[ 0. 0.35936882 0.52392172]
rmse=0.11, R2=0.87, R22=0.64, clf.score=0.87
[ 0.00000000e+00 2.63903249e-01 3.14973328e-01 2.43389461e-01
1.67075328e-01 1.10674280e-01 7.30672237e-02 4.88605804e-02
......
3.70018540e-11 2.93631291e-11 2.32992690e-11 1.84860002e-11
1.46657377e-11]
rmse=0.10, R2=0.90, R22=0.68, clf.score=0.90
