求1/[(cosx)^5+(sinx)^5]dx在0到π/2上的定积分

发布网友发布时间：2023-11-08 17:55

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热心网友时间：2024-12-05 06:14

先求原函数，再用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。首先要对分母进行恒等变形，首先因式分解，根据公式，

所以有

因式分解后的第二个因式进行变形，用sinx－cosx表示出来，因为sinx－cosx的导数是sinx＋cosx，分子分母同时乘sinx＋cosx，分子变成(sinx＋cosx)dx＝d(sinx－cosx)，而分母的第一个因式(sinx＋cosx)的平方可以用(sinx－cosx)表示，所以分母是用sinx－cosx表示出来的，然后可以换元，变成求被积函数是有理分式的不定积分

这时有理分式的展开用待定系数法

最终化为1/(t²－a²)，和1/(t²＋a²)的不定积分的线性组合，而1/(t²－a²)的不定积分是(1/2a)ln|(t－a)/(t＋a)|＋C，为1/(t²＋a²)的不定积分是(1/a)arctan(x/a)＋C，所以

而其中

所以最终结果是

根据软件计算验证这个结果是对的

追答答题不易，满意请采纳，谢谢