a，b，c是直角三角形三边，其中c是斜边，问1/a ，1/b， 1/c 为边能否构成直角三角形？（请写出过程，谢谢

发布网友 发布时间：2022-04-30 07:10

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热心网友 时间：2023-10-21 02:29

解：设0<a<b<c，那么1/a>1/b>1/c>0
假设这样的三边能构成直角△，那么(1/a)^2=(1/b)^2+(1/c)^2
1/a^2-1/b^2=1/c^2
(b^2-a^2)/(a^2b^2)=1/(a^2+b^2)
b^4-a^4=a^2b^2
a^4+a^2b^2-b^4=0
利用求根公式：a^2=[(-1±√5)/2]b^2
因为 0<a<b
所以 a^2=[(√5-1)/2]b^2
所以 a＝√[(√5-1)/2]b≈0.786b 【(√5-1)/2是黄金分割值，约为0.618】
所以这样的直角△是存在的

热心网友 时间：2023-10-21 02:30

假设a，b，c中c最大，a最小。c^2=a^2+b^2 如果1/a ，1/b， 1/c 为边能构成直角三角形，则有1/a^2=1/b^2+1/c^2 我们先假设这两个等式同时成立则有1/a^2=1/b^2+1/（a^2+b^2) 你通过计算这个等式肯定不成立，所以1/a ，1/b， 1/c 为边不能构成直角三角形？比如3 4 5是一个直角三角形，1/3 1/4 1/5 就不能。

热心网友 时间：2023-10-21 02:30

解：

假设能构成直角三角形：
则有：
1/a^2=1/b^2+1/c^2

b^2*c^2=a^2*(c^2+b^2)

b^2*(a^2+b^2)=a^2*(a^2+b^2+b^2)

a^2*b^2+b^4=a^4+2*a^2*b^2

a^2*b^2=b^4-a^4

b^2/a^2-a^2/b^2=1

即：
(tanB)^2-(tanA)^2=1
又：
tanB*tanA=1

解得：
(负值舍去)
tanA=1/√((√5+1)/2)
tanB=√((√5+1)/2)

(根太繁，没有化简，反正有解就能说明了)

∴
说明存在a,b,c满足a/b=1/√((√5+1)/2)时，
1/a，1/b，1/c为边也能否构成直角三角形。

热心网友 时间：2023-10-21 02:31

能吧

因为A B C这三边都被一除过了所以得到的结果应该能构成直角三角形