求摆线x=a(t-sint）,y=a(1-cost）的一拱与横轴围成的图形面积
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发布时间：2022-04-30 20:39
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时间：2023-10-11 09:44
由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。
解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，
可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为，
S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为，
S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt
=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2
扩展资料：
x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。
有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。
参考资料来源：百度百科-摆线
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时间：2023-10-11 09:44
利用参数方程求面积的公式解定积分
过程如下图：
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时间：2023-10-11 09:45
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时间：2023-10-11 09:45
