y=根号下(π+4arcsinx)的反函数,求具体解析

发布网友发布时间：2022-04-30 17:11

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热心网友时间：2022-06-28 05:05

解：以下sqrt表示开方, ^2表示平方。
反解x，先两边平方，得到：
y^2 = π + 4arcsin(x)，或者
(y^2 - π)/4 = arcsin(x)
然后两边取sin，得到（用sin差角公式）：
sqrt(2)/2 [sin(y^2 / 4) - cos(y^2/4)] = x，
于是反函数就是
y = sqrt(2)/2 [sin(x^2/4) - cos(x^2/4)]，
定义域要看原函数的值域，由于反正弦函数的值域区间就是在 [-π/2, π/2]，所以
根号里面的范围就是 [-π, 3π]，但是因为是在根号下，其实范围是 [0, 3π]，如此一来值域就是：
[0, sqrt(3π)]了。
答案：y = sqrt(2)/2 [sin(x^2/4) - cos(x^2/4)]，x属于[0, sqrt(3π)]。

热心网友时间：2022-06-28 05:05

化简结果为arcsinx=(y^2-π)/4
则反函数为y=sin(x^2/4-π/4)
又u=arcsin(x)的值域为[-π/2,π/2]
所以原函数值域为[0,根号3π]
所以反函数定义域为[0,根号3π]