Lp空间是否是可分的

发布网友发布时间：2022-04-30 18:42

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热心网友时间：2022-06-30 01:12

是可分的，有可数稠密子集，全体多项式函数

热心网友时间：2022-06-30 01:13

space的时候，会首先联想到它是一个完备的内积空间，“完备"表示我们用“内积”定义的度量来定义收敛时，不用担心“跑出去”的问题，例如n维欧氏空间就是完备的内积空间。但在机器学习中，我们更关心无穷维完备内积空间，换言之，函数构成的空间，如所谓square-integrable
function space
L2,这个空间中每个元素都由平方之后可积的函数，可以在这个空间中定义代数运算，使之成为一个内积空间，并且可以证明，在适当的条件下，这样的空间是完备的。
在这样的Hilbert
从字面上想像，一个空间可分，由于空间就是集合，因此大致是说这个集合可分成多个子集的并，其实完全不是这样trival.
数学中的定义，有时候很奇怪，实际上，空间可分与否，和是否compact一样，不是在说划分，而是在说它的“大小”！－－
如果度量空间X和一个可数集合差不多大，则它是一个可分空间。
解释，1) 可数集(countable
set)，是包含无穷多个元素的那类集合中最小的一种，比如自然数集，有理数集，整数集等，它们的大小是一样的，通常我们只会用到这类集合。既然一个可分空间和一个可数集差不多大，那么这个空间也就大不到哪里去。2)“差不多”是差多少？精确的说，只差一个“boundary”，注意，如果你往一杯水中撒一把沙子，则沙子集合与水集合的boundary是“无处不在”
的。更精确的说，这个可数集是这个可分空间的稠密子集(dense
set)。稠密的意思是说，水与沙子就只差边界那么多，如果把边界填满，二者就一样，如同你把有理集之间的空隙用无理数填满，你得到实数集一样。正式的说法是，如果一个子集F的closure等于母集合A，那么F就在A中稠密，换言之，A应当是包含F的最小闭集。直观上说，A是和F大小最接近，最“差不多”大小的集合。例子，Weierstrass
approximation 定理说，在compact
domain上，所有多项式函数构成的“子空间”在所有连续函数构成的“母空间”中是稠密的，这样我们知道，大致上任何一个连续函数都可由某个多项式函数来近似。这就是我们在做回归时经常假定多项式函数的原因。