高等数学 第七版 上册 第11页 例11看不懂证明
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发布时间：2022-04-30 17:39
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时间：2022-06-28 13:56
对于证明类的题目，一般的思路、步骤如下：
1、明确已知、未知（假设）；
2、找出已知和未知（假设）之间的联系、关系（式）；
3、用已知表示未知（假设），写出表达（式）；
4、验证未知（假设）的性质，成立；
5、搞定。
1、明确已知、未知（假设）：
例11 中，f(x) 是已知、确定的函数， 在其定义域内存在 奇函数和偶函数之和等于 f(x)，请注意是 “存在”，但是不确定是哪个奇函数和偶函数（请注意 存在 与 任一 的区别）。我们只需要找到一组奇函数和偶函数满足之和等于f(x)，即可证明题目。
已知的条件是：
1、f(x)；
对于“存在”类的证明题目，我们顺着题目走（对于“任一”类的证明题目，则要反着题目走），我们假设确实有这两个函数的存在，那么假设条件两个：
假设条件1、不确定是哪两个函数，但是存在的这两个函数，一个是奇函数 h(x)，一个是偶函数 g(x)；
假设条件2、这两个之和等于 f(x)，即：f(x) =g(x) +h(x)。
2、找出已知和未知（假设）之间的联系、关系（式），让二者联系起来，处对象不也得先让俩人有联系嘛。
在已知和假设之间建立关系（假设条件2），f(x)=g(x)+h(x) ...................................................式1
我们注意到假设条件1，函数的奇偶性，奇函数和偶函数性质是啥：
g(-x)=g(x)、h(-x)=-h(x) ............................................................ ...式2。
到这儿了，是不是该联想一下 f(-x) 是个啥情况了：f(-x)=g(-x)+h(-x) ,
有没有很想尽量去掉这些减号，f(-x)=g(x)-h(x) ，
这下是不是清爽多了，现在，我们的已知和未知（假设）之间的联系又多了个式子，即 ，
f(-x)=g(x)-h(x) ..............................................................................式3
OK，已知和未知（假设）之间的联系找到了，式1 和 式3。
3、用已知表示未知（假设）。
已知是：f(x)，那么f(-x)也是已知的；
未知（假设）是 ：g(x)、h(x) ，（两个未知，所以 步骤2 中至少得找到两个联系式）。
怎么用 f(x) 来表达呢？
请注意，f(x)、f(-x)已知，g(x)、h(x)未知， 式1 和 式 3，它不就是个 二元一次方程组嘛，解方程，得到：
g(x)=1/2 [ f(x) + f(-x) ] ...........................................................式4
h(x)=1/2 [ f(x) - f(-x) ] ..........................................................式5
然后这不就完成 用已知表示未知（假设）了嘛。也就是找到了这个存在（找到了这个存在）。
步骤1-3，也就是书上的分析、启发。
4、验证未知（假设）的性质；
书中这个“作”字，就是“假设”的意思。也就是说，我通过“草稿纸”上的推演、思考，已经找到这两个函数了，那我就拿出这两个函数，去验证下其性质，告诉出题老师，确实有这两个函数。（就是根据假设推演出来的，肯定验证的过去啊！抱着孩子去找丈母娘提亲，你觉得可能不通过吗？）
式4 + 式5，验证假设条件2，成立；
式4、式5，分别带入 -x，验证假设条件1，成立。
5、搞定。
Ps. 写的很啰嗦，其实数学的重点就在于 思维、方法。得有数学得思维，其实也就是逻辑。
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时间：2022-06-28 13:56
热心网友
时间：2022-06-28 13:57
书上的证明过程其实先启示你怎么利用f(x)来写出奇函数h(x)和偶函数f(x)，使得他俩的和等于f(x）
热心网友
时间：2022-06-28 13:57
先假设题目要求证明的定理是成立的，然后由这个“成立”的假设推出下面的等式，最后得出你上传的图三的三个等式，发现它与假设相符，并不冲突，那么就证明假设是成立的，即“存在偶函数g（x）和奇函数h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）”，于是证明完毕。
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时间：2022-06-28 13:58
