请教范数的简单解释?

发布网友发布时间：2022-04-30 18:32

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热心网友时间：2022-06-29 06:19

若X是数域K上的线性空间，泛函 ║·║: X->R 满足：　　1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；　　2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；　　3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。　　那么║·║称为X上的一个范数。　　（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。）　　如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。　　注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。　　1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。　　但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。　　2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。　　3. 利用内积<·,·>可以诱导出范数：║x║=<x,x>^{1/2}。　　反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x-y║^2=2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。　　完备的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间。　　4. 如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，相应的线性空间称为赋准范线性空间。完备的赋准范线性空间称为Fréchet空间。　　对于X上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数C满足　　║x║β≤C║x║α 　　那么称║x║β弱于║x║α。如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等价。　　可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫(实数集的基数)种不等价的范数。