证明柯西不等式

发布网友发布时间：2022-05-01 18:35

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热心网友时间：2022-06-21 08:04

对于Cauchy不等式，据我所知有二十多种证法.
现举一个较简单的初等数学证法(向量法)：
令α＝(a1,a2,…,an),β＝(b1,b2,…,bn),则
cos(α,β)＝(α·β)/(|α|·|β|)
↔(α·β)/(|α|·|β|)＝cos(α,β)≤1.
而α·β＝a1b1+a2b2+…+anbn,
|α|²＝∑ai²,|β|²＝∑bi².
当且仅当cos(α,β)＝1时取等，即α//β.
故命题成立。

热心网友时间：2022-06-21 08:04

a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥(a1b1+a2b2+……+anbn)^2
证：考虑这个代数式：(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2
显然有(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2≥0
左边拆开，(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2≥0
从函数图象上来看，
令f(t)=(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2
若f(t)≥0，则a1^2+a2^2+……+an^2>0，
且△=4(a1b1+a2b2+……+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≤0
第一个条件天然满足，后一个条件整理一下就是柯西不等式