柯西不等式的证明

发布网友发布时间：2022-05-01 18:35

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热心网友时间：2022-06-21 08:04

向量形式

证明：

推广：

三角形式

等号成立条件：（即）
n维形式

等号成立条件：，或ai、bi中有一为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x_1%2By_1%2B...)(x_2%2By_2%2B...)...(x_n%2By_n%2B...)%5Cge((%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%7D)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%2B(%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%7By_i%7D)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5En
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和)

热心网友时间：2022-06-21 08:04

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2 　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 　　构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：　　f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 　　故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，　　（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。