已知数列{an}满足a1=1,an+a(n+1)=2n

发布网友发布时间：2023-11-23 19:48

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热心网友时间：2024-10-01 17:09

a(2n)+a(2n+1)=2*(2n)=4n
a(2n+1)+a(2n+2)=2*(2n+1)=4n+2
下式减上式得:a(2n+2)-a(2n)=2
即a2(n+1)-a(2n)=2
数列{a(2n)}是以2为公差的等差数列
同理a(2n-1)+a(2n)=2(2n-1)=4n-2
a(2n)+a(2n+1)=2(2n)=4n
下式减上式得a(2n+1)-a(2n-1)=2
即a[2(n+1)-1]-a(2n-1)=2
数列{a(2n-1)}是以2为公差的等差数列

热心网友时间：2024-10-01 17:13

(1)2a(n+2)=an+a(n+1)；
∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]；
bn=a(n+1)-an；
∴2b(n+1)=-bn；
即b(n+1)/bn=-1/2；
∴{bn}是等比数列；
(2)b1=a2-a1=2-1=1；
∴{bn}是首项为1，公比为-1/2的等比数列；
∴bn=1×(-1/2)^(n-1)；
∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)；
∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)；
a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)；
……
a2-a1=(-1/2)^0；
累加得：an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]；
∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)×(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)×(-1/2)^(n-2)