100分!如何求二元函数的二阶方向导数??

发布网友发布时间：2022-05-01 17:49

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热心网友时间：2022-06-20 14:07

一般书上的方法是：

设向量v=(x, y)，方向向量d=(1, 2)/sqrt(5)

f(x, y) = f(v)，函数f在方向d的导数是关于k的函数 f(v+kd)中关于k的导数在k=0时取得。

然后用同样方法求出第二阶导数即可。

但这样太麻烦了，因为一个点的方向导数不过是两个偏导根据方向合成而已。

你先求出x的偏导fx，再求y的偏导fy，然后(fx+2fy)/sqrt(5)就是第一阶方向导数，即：

（ 7x^2 + 4xy + 6x - y ) / sqrt(5)

然后同样方法求第二阶方向导数就行

( 22x + 4y + 4 ) / 5

代入(x, y) = (0, 0)

可得结果：0.8

如果函数在(0, 0)处不连续可能不能这样算，当然这个是连续的

热心网友时间：2022-06-20 14:07

1i+2j 向量 ==>cosa=1/(1^2+2^2)^(1/2)=1/5^(1/2)
cosb=2/5^(1/2)

f(x,y) = x^3 + 2(x^2)y + 3xy - y^2 +5
二阶x 方向偏导数=fxx=6x+4y
二阶y 方向偏导数=fyy=-2
1i+2j 向量的二阶方向导数=fxx cosa +fyy cosb
=(6x+4y)[ 1/5^(1/2)]-2 [2/5^(1/2)]
在点（0，0）关于 1i+2j 向量的二阶方向导数=-4/[5^(1/2)]

热心网友时间：2022-06-20 14:08

二元函数方向导数几何意义见图，希望你能明白
另外需要注意的是方向导数和偏导数间没有实质性的推导关系，即使一个函数沿任意方向的方向导数都存在，但其偏导数有可能不存在的，同济六版高数定义后有反例的，方向导数定义分母是距离，沿x轴方向分母都是x增量的绝对值，而偏导数定义是增量，可正负，因负增量的绝对值是其相反数，多出负号的，所以相对沿x轴正向多出负号。至此应该可以明白吧！

热心网友时间：2022-06-20 14:08

先对X求导（把Y看做常数），
F`（X,Y）=3X^2+4XY+3Y
F``(X,Y)=6X+4Y
再对Y求导（X同上）
F·（X，Y）=2X^2+3X-2Y
F``(X,Y)=-2
再将以上四项带入一个全微分公式通式（通式经过2次求导），然后化简就算出来了。

参考资料：翻翻高数（下）

热心网友时间：2022-06-20 14:09

上课认真听，很简单的