刘老师请教一道线代问题:A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定...
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发布时间：2024-07-04 03:15
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热心网友
时间：2024-08-04 07:17
设A，C为n阶正定矩阵，且B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解，求证B是正定矩阵。
因为B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,且转置AB+BA=C后利用A,C对称知B^T也是矩阵方程的解,于是B=B^T.即B对称,如果B不正定,则存在非正特征值a,设其特征值为t(t≠0),则Ba=ta,转置后有a^TB=ta^T.则a^TCa=a^TABa+a^TBAa=2ta^TAa,则左边大于0,而右边非正,矛盾,故B正定.
热心网友
时间：2024-08-04 07:10
只有n=1时能保证AB+BA的正定性，n>1则不行，比如
A=
4 0
0 1
B=
3 2
2 2
刘老师请教一道线代问题:A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定...
设A，C为n阶正定矩阵，且B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解，求证B是正定矩阵。因为B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,且转置AB+BA=C后利用A,C对称知B^T也是矩阵方程的解,于是B=B^T.即B对称,如果B不正定,则存在非正特征值a,设其特征值为t(t≠0),则Ba=ta,转置后有a^TB=ta^T.则a^TCa=a^TAB...
两和个n阶正定矩阵A,B,则AB是正定矩阵吗?
不对，正定矩阵的前提是对称阵，而AB并不一定是对称阵。除非 AB=BA
线代 正定矩阵问题
正定矩阵首先要是对称的。A,B都正定可以说明AB的特征值全大于零，但不能说明AB一定是对称阵（对称当且仅当AB=(AB)'=B'A'=BA，即A和B可交换），所以AB还不一定是正定矩阵。AB的特征值全大于零的证明：由B正定，B的特征值全大于零；由A正定，存在可逆矩阵P使得A=PP'。所以 (1) P'BP相合于...
线代正定矩阵问题
由于A的行列式是范德蒙行列式，|A|=∏(xj-xi)≠0，所以A是可逆矩阵，所以B=(A^T)A是正定矩阵。（有个定理：矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆阵C使得A=(C^T)C）
A,C为n阶正定矩阵,AX+XA=C的唯一解是B,则B是正定矩阵
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设∑ki*ai=0(对i求和），则(∑ki*ai)^TAaj=0（j=1,2,...,m），即kj*(aj^TAaj)=0,（j=1,2,...,m）；而A正定，所以aj^TAaj>0，从而kj=0（j=1,2,...,m），所以a1,a2...am线性无关。
求大佬帮忙看看线代题……A是一个m×n的实矩阵,m<n,证明A乘A的转置正 ...
(AAT)T=AAT为对称阵 R(A)=M,存在P,PA=(E,0)xT(PA)(PAT)Tx=(xPT)TAAT(PTx)显然有PA正定，故x不为零，又得x不为零！故PTx不为零，所以正定！
线代证明题,求证ATA为正定阵
(A^T)*A)=r(A)=n。证明如下：若Ax=0，则(A^T)Ax=0； 若(A^T)Ax=0，则(x^T)(A^T)Ax=0，即[(Ax)^T]Ax=0，故Ax=0。从而方程Ax=0跟方程(A^T)Ax=0通解。所以r((A^T)*A)=r(A)=n。所以B是满秩对称矩阵，从而与E合同，故B是正定矩阵，即(A^T)*A是正定矩阵。
整定矩阵问题
ABAB=A(BA)B=A(AB)B=(AA)(BB)>0做完
工科线代中实对称矩阵,反对称矩阵和正定矩阵相关考题
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