如图,边长为1的正方形ABCD中,P为正方形内一动点,过点P且垂直于正方形两...
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发布时间：2024-07-04 02:55
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时间：2024-07-21 01:54
∵ABCD是正方形，又EF⊥AD、GH⊥AB，
∴容易证得：ABFE、ADHG都是矩形，∴BF＝AE、DH＝AG，又AG＝AE，∴BF＝DH。
∵ABCD是正方形，∴AB＝AD、∠ABF＝∠ADH＝90°。
由AB＝AD、∠ABF＝∠ADH、BF＝DH，得：△ABF≌△ADH，∴AF＝AH。
第二个问题：
延长FB至M，使BM＝DH。
∵AB＝AD、BM＝DH、∠ABM＝∠ADH，∴△ABM≌△ADH，∴∠BAM＝∠DAH、AM＝AH。
∵ABCD是正方形、∠FAH＝45°，∴∠BAF＋∠DAH＝45°，又∠BAM＝∠DAH，
∴∠BAF＋∠BAM＝45°，∴∠MAF＝45°，∴∠MAF＝∠HAF＝45°。
∵AM＝AH、∠MAF＝∠HAF、AF＝AF，∴△MAF≌△HAF，∴MF＝FH，∴BM＋BF＝FH。
容易证得：CHPF是矩形，又ABFE、ADHG都是矩形，∴BM＝DH＝AG、BF＝AE，
∴AG＋AE＝FH。
第三个问题：
设BG＝x、BF＝y，则容易求出：PE＝1－x、PH＝1－y。
∵BG＋BF＋GF＝1，∴x＋y＝1－GF。
由勾股定理，有：GF＝√（BG^2＋BF^2）＝√（x^2＋y^2），∴x＋y＝1－√（x^2＋y^2），
∴（x＋y）^2＝［1－√（x^2＋y^2）］^2，
∴x^2＋y^2＋2xy＝1－2√（x^2＋y^2）＋x^2＋y^2，∴2xy＝1－2√（x^2＋y^2），
∴xy＝1/2－√（x^2＋y^2）。
容易证得：EPHD是矩形。
∴S(矩形EPHD)
＝PE×PF＝（1－x）（1－y）＝1－x－y＋xy
＝1－［1－√（x^2＋y^2）］＋［1/2－√（x^2＋y^2）］＝1/2。
热心网友
时间：2024-07-21 01:57
