如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF...
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发布时间：2024-07-08 12:10
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时间：2024-08-15 03:56
（1）令AC、BD对角线交点为O，连接OH
则OH//AB且OH=1/2AB
而EF//AB且AB=2EF
则EF//OH且EF=OH
即OHFE为平行四边形
于是FH//OE
而OE⊂平面EDB
所以FH//平面EDB
（2）显然AC⊥BD（正方形对角线性质）
因AB⊥BC（正主形性质），又EF//AB
则EF⊥BC
而EF⊥FB，且BC∩FB=平面BFC
则EF⊥平面BFC
而FH⊂平面BFC，则EF⊥FH
而由（1）知OHFE为平行四边形，则OHFE为矩形
于是FH⊥OH，又BF=FC，H为BC中点
易知FH⊥BC（三线合一）
而OH∩BC=平面ABCD
则FH⊥平面ABCD
而由（1）知FH//OE
则OE⊥平面ABCD
又AC⊂平面ABCD，则OE⊥AC
因OE∩BD=平面EDB
所以AC⊥平面EDB
（3）过O作OG⊥DE，交DE于G，连接GC
因AC⊥平面EDB，而ED⊂平面EDB
则ED⊥AC
而GC∩AC=平面OGC
则ED⊥平面OGC
又GC⊂平面OGC，则ED⊥GC
所以∠OGC为二面角B-DE-C的平面角
在RT⊿ODE中，OG*DE=OD*OE（面积相等）
则OG=OD*OE/DE
显然OG⊥AC（因AC⊥平面EDB，而OG⊂平面EDB）
在RT⊿OGC中，tan∠OGC=OC/OG
所以tan∠OGC=(DE*OC)/(OD*OE)=DE/OE（注意到OC=OD）
令AB=2
易知OE=FH=1
而DE=BF=√3（三线合一）
所以tan∠OGC=√3
即∠OGC=60°
