在△ABC中,已知∠A=2∠C,D为AC中点,且∠ADB=60°,求证∠ABC为90°

发布网友发布时间：2024-07-03 09:28

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热心网友时间：2024-11-08 01:44

设AD=DC=1,BD=x,
∠ADB=60°,由余弦定理，AB^2=1+x^2-x,
在△ABC中,∠A=2∠C,由正弦定理，
AB/sinC=AC/sinB,即√(1+x^2-x)/sinC=2/sin3C,
所以2/√(1+x^2-x)=sin3C/sinC=3-4(sinC)^2=3-2(1-cos2C)=1+2cosA,
所以2cosA=2/√(1+x^2-x)-1,
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcosA=1+x^2-x+4-2√(1+x^2-x)[2/√(1+x^2-x)-1]
=1+x^2-x+2√(1+x^2-x),
AB^2+BC^2=2+2x^2-2x+2√(1+x^2-x),未必为4=AC^2,
所以命题不成立。

热心网友时间：2024-11-08 01:45

将△ABD 沿 BD 边向下翻折得到△A'BD，连结 A'C
<A'CD=60°，A'D=AD=CD，得△A'BD为正△
令<BCD=α，<CBD=β，则有α+β=60°，得<BCA'=β；<A=2α，<ABD=120⁰-2α=2β
<A'BD=<ABD=2β，得<A'BC=β=<BCA'，得 A'B=A'C
又有 A'B=AB，A'C=CD=AD，得 AB=AD，又有<ADB=60⁰，得△ABD 为正△，得<A=60⁰、<ACB=30⁰，得<ABC=90⁰