...它恰有14个正约数(包括1和本身),其中有一个质因数的末位数字是1,求...

发布网友发布时间：2024-07-03 10:03

共3个回答

热心网友时间：2024-07-18 10:00

14个正约数(包括1和本身)，根据约数个数公式
14 = 2×7 = （1+1）×（6+1）
这个数是形如M×N^6的数。
易知2^6 = 64、3^6 = 729、4^6 = 4096。
则这个数里，出现6次的素因数N只可能为2或3。

当N = 2时，M是个位为1的素数。
1000/64 ≤M＜ 2000/64
即
16 ＜ M＜ 31.25
因此M只可能为31。
这个四位数是64×31 = 1984

当N = 3时，
1000/729 ≤M＜ 2000/729
在此范围内不存在个位为1的素数。

综上，这个四位数是1984

热心网友时间：2024-07-18 10:03

设这个数是N.
因为N恰有14个正约数，所以
N=p*q^6(p，q为质数）

由于p>=2，所以由1000<p*q^6<2000 得 q<=3，
1）q=2。则p=N/64，由于其个位为1，
所以 p=31，N=1984
2）q=3。则p=N/729，个位为1的质数最小的是11，但11*729>1000。

综上，所求的四位数是 1984。

热心网友时间：2024-07-18 09:59

约数个数14=2*7=1*14，所以这个四位数分解成质因数的积=x^6*y(不可能是x^13,因为2^13>2000)。x不可能是末位为1的质因数(因为末位为1的最小质因数11都使得11^6>2000了),x只能是2（因为质因数3使得3^6=729,y取末位为1的最小质因数11，也使3^6*11=8019>2000了）。取y=11则2^6*11=704是三位数，y=31则2^6*31=1984正好是小于2000的四位数。而y=41则2^6*41=2624>2000，所以这个四位数只能是1984